轉自：https://www.zhihu.com/question/25627482/answer/32060408
泰勒展開還是很好理解的，我就我以前學習高數時候根據看課本的理解的在這裏大概講一下吧。
在實際應用中對於具有複雜形式的函數我們常常希望用較爲簡單的函數形式表示他，那多項式就是這種簡單的形式。
首先還是先回到函數的局部線性近似這個概念。
舉個栗子，例如函數![y=x^3]()
，當自變量有變化時，即![\Delta x]()
，自變量y會變化![\Delta y]()
,帶入到函數裏面就有
![\Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3=3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3]()
當![\Delta x \rightarrow 0]()
時，上式的後兩項是![\Delta x]()
的高階無窮小捨去的話上式就變成了
![\Delta y=3x^2\Delta x]()
也就是說當自變量x足夠小的時候，也就是在某點的很小的鄰域內，![\Delta y]()
是可以表示成![\Delta x]()
的線性函數的。線性函數計算起來，求導起來會很方便。
對於一般函數，當在某點很小領域內我們也可以寫成類似上面的這種自變量和因變量之間線性關係，
![\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\approx f'(x_0)*\Delta x]()
變化一下形式
![\Delta y=f(x)-f(x_{0} )]()
,
![\Delta x = x-x_0]()
在代入上式就有，
![f(x)-f(x_0)=f'(x_0)*(x-x_0)]()
,移項有，
![f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)]()
這個式子是不是很面熟？這個就是在![x_0]()
點鄰域內舍掉高階無窮小項以後得到的局部線性近似公式了。爲了提高近似的精確度，於是把上面的一次近似多項式修正爲二次多項式（利用洛必達法則和二階導數定義，爲了理解推導忽略），在進一步，二次修正爲三次。。。一直下去就得到了n階泰勒多項式了。
所謂更精確的近似也就是有了更高的密切程度，這種程度是通過導數來體現的。
例如只做了一次近似的話，
![f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)]()
近似的多項式和原始函數是通過同一點![x_0]()
的。
若進行二次近似，
![f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)]()
近似的多項式和原始函數既過同一點，而且在同一點的導數相同，也就是多項式表達的函數在![x_0]()
點的切線也相同。
類似進行三次近似的話，不僅經過同一點，切線相同，彎曲程度也相同了。
一直下去。。。。
這樣近似相關程度多大，近似的也就越精確了。
![]()
（圖片來自樓上提供的網站Intuition explanation of taylor expansion?）
最後，總結一下好了，泰勒展開就是用形式簡單的多項式來近似在![x_0]()
鄰域內的函數，展開越多近似程度越高。
在實際應用中對於具有複雜形式的函數我們常常希望用較爲簡單的函數形式表示他，那多項式就是這種簡單的形式。
首先還是先回到函數的局部線性近似這個概念。
舉個栗子，例如函數
，當自變量有變化時，即
，自變量y會變化
,帶入到函數裏面就有
當
時，上式的後兩項是的高階無窮小捨去的話上式就變成了
也就是說當自變量x足夠小的時候，也就是在某點的很小的鄰域內，
是可以表示成的線性函數的。線性函數計算起來，求導起來會很方便。對於一般函數，當在某點很小領域內我們也可以寫成類似上面的這種自變量和因變量之間線性關係，
變化一下形式
,
在代入上式就有，
,移項有，
這個式子是不是很面熟？這個就是在
點鄰域內舍掉高階無窮小項以後得到的局部線性近似公式了。爲了提高近似的精確度，於是把上面的一次近似多項式修正爲二次多項式（利用洛必達法則和二階導數定義，爲了理解推導忽略），在進一步，二次修正爲三次。。。一直下去就得到了n階泰勒多項式了。所謂更精確的近似也就是有了更高的密切程度，這種程度是通過導數來體現的。
例如只做了一次近似的話，
近似的多項式和原始函數是通過同一點
的。若進行二次近似，
近似的多項式和原始函數既過同一點，而且在同一點的導數相同，也就是多項式表達的函數在
點的切線也相同。類似進行三次近似的話，不僅經過同一點，切線相同，彎曲程度也相同了。
一直下去。。。。
這樣近似相關程度多大，近似的也就越精確了。
（圖片來自樓上提供的網站Intuition explanation of taylor expansion?）
最後，總結一下好了，泰勒展開就是用形式簡單的多項式來近似在
鄰域內的函數，展開越多近似程度越高。公式就是這個：
在x0的附近展開，無論展開到幾階，泰勒多項式的值和原函數的值都近似相等，但距離x0較遠的地方，多項式的值和函數值就不接近了，要想讓遠處的值也接近，就需要展開到更多的階，當展開階數趨於無窮時，這個多項式在很大範圍裏就非常接近原函數啦。
