轉自：http://haoqis.com/blog/30
理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將爲本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裏看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。
破解：
設x,y表示任意人，b表示barber（理髮師），h表示haircut(理髮),
x給y理髮: h(x,y)
x不給y理髮: ~h(x,y)
那麼，
給自己理髮： h(x,x)
不給自己理髮: ~h(x,x)
理髮師給某人理髮： h(b,x)
理髮師規則：~h(x,x)=>h(b,x) (x不給自己理髮，則理髮師給x理髮)
如果理髮師規則爲真，【並且】x=b，那麼~h(b,b)=>h(b,b)
而 ~h(b,b)=>h(b,b) 恆爲假！
因此，【並非】”理髮師規則爲真， 並且 x=b“，
即”理髮師規則爲假，或者x不等於b”成立，
於是，”如果x等於b，則理髮師規則爲假”。
同樣，”如果x等於b，則理髮師規則爲假”，
等效於
“如果理髮師規則爲真，則x不等於b”，
與我們的常識相符。
結論：理髮師規則~h(x,x)=>h(b,x) ，只有在x不等於b的時候，才能成立，例如~h(a,a)=>h(b,a) ， ~h(a,a)和h(b,a)沒有矛盾。
當x=b的時候（b自己給自己理髮），表達式變爲~h(b,b)=>h(b,b)，蘊含矛盾。所以理髮師規則蘊含矛盾，本身就不成立。
【假設理髮師規則爲真】=>
{
假設不給自己理髮=》給自己理髮
假設給自己理髮=》不給自己理髮
}
這纔是正確的，完全符合邏輯。
~h(x,x)=>h(b,x) 碰巧在x不等於b的時候，成立，在x等於b的時候矛盾。
同樣對於三元邏輯，如果規定對應法則f，使得
~f(x,y,z)=>f(a,b,z)，當(x,y)不等於(a,b)的時候，則f可成立。
當(x,y)等於(a,b)的時候，有~f(a,b,z)=>f(a,b,z)，矛盾。
說謊者悖論：“這句話是假的”
令x=“這句話是假的”
這句話=x
即x=“x是假的”
x是假的，即~x爲真
即 x=~x
“這句話是假的” 蘊含 x=~x
~h(x,x)<=>h(b,x) 蘊含~h(b,b)<=>h(b,b)
….
悖論是一個或一組命題（顯然），【假定悖論命題爲真】的前提下，“蘊含”形如A=~A的矛盾。
由此可見，這兩個著名的悖論，在於構造命題(組)P
使得P=>(Q<=>~Q)，因此，矛盾否定的是P。
P=>(Q<=>~Q)等價於
P=>(Q=>~Q) and P=>(~Q=>Q)
這就是悖論的感覺：如果q爲真，則q假，如果q爲假，則q真。因爲你假定了悖論p真。
最終結論：悖論的產生源於其前提爲假！悖論進一步表明了邏輯推理的偉大和正確性！
然而可以發散一下思維，理髮師雖然說錯了，但是這個前提實際上是集合的自指，要破除的話，理髮師只要說給除自己以外的不給自己理髮的人理髮就行了，另一個辦法就是讓其他人幫他理髮。其中一種潛在的假設就是隻有他一個人能理髮。
另有圖靈停機問題，實則同出一轍：轉自http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/7260957
不存在這樣一個程序（算法），它能夠計算任何程序（算法）在給定輸入上是否會結束（停機）。
那麼，如何來證明這個停機問題呢？
反證!假設我們某一天真做出了這麼一個極度聰明的萬能算法（就叫God_algo吧），你只要給它一段程序（二進制描述），再給它這段程序的輸入，它就能告訴你這段程序在這個輸入上會不會結束（停機），我們來編寫一下我們的這個算法吧：
bool God_algo(char* program, char* input)
{
if(<program> halts on <input>)
return true;
return false;
}
這裏我們假設if的判斷語句裏面是你天才思考的結晶，它能夠像上帝一樣洞察一切程序的宿命。現在，我們從這個God_algo出發導出一個新的算法：
bool Satan_algo(char* program)
{
if( God_algo(program, program) )
{
while(1); // loop forever!
return false; // can never get here!
}
else
return true;
}
正如它的名字所暗示的那樣，這個算法便是一切邪惡的根源了。當我們把這個算法運用到它自身身上時，會發生什麼呢？
Satan_algo(Satan_algo);
我們來分析一下這行簡單的調用：
顯然，Satan_algo(Satan_algo)這個調用要麼能夠運行結束返回（停機），要麼不能返回（loop forever）。
如果它能夠結束，那麼Santa_algo算法裏面的那個if判斷就會成立（因爲God_algo(Santa_algo,Santa_algo)將會返回true），從而程序便進入那個包含一個無窮循環while(1);的if分支，於是這個Satan_algo(Satan_algo)調用便永遠不會返回（結束）了。
如果不能結束（停機），則if判斷就會失敗，從而選擇另一個if分支並返回true，即Satan_algo(Satan_algo)又能夠返回（停機）。
總之，我們有：
Satan_algo(Satan_algo)能夠停機=> 它不能停機
Satan_algo(Satan_algo)不能停機=> 它能夠停機
所以它停也不是，不停也不是，左右矛盾。
