HDU.1003 Max Sum

原題

HDU.1003 Max Sum

分類

動態規劃

題意

計算從一個序列中最大連續子序列和、對應的起始元素和終止元素的位置。

輸入/輸出	要求與格式
樣例數的確定	最開始一行開始輸入樣例數
每個樣例的輸入	每行n + 1個數，第一個數n爲數組元素個數，後n個數爲序列的實際元素
輸出結果	最大連續子序列和、對應的起始元素和終止元素的位置
輸出格式	每個案例結果第一行爲"Case X:"，第二行爲3個輸出結果(空格隔開)，兩個案例結果間一個空行
特殊要求	有多個解的案例使用最前面的解

以下是數據範圍：

數據	數據範圍
樣例數	$1 \leq T \leq 20$
序列元素個數	$1 \leq n \leq 10^5$
序列元素	$-10^3 \leq a_i \leq 10^3$

題解

這道題規定了數組元素個數最大可能有$10^5$個。

如果出於最暴力的方法來考慮，嘗試每一種子序列的和，用前綴和的方法來優化求和，時間複雜度爲$O \left( n^2 \right)$，這樣的計算方法肯定會TLE啊，必須換個思路。

其實在學動態規劃的時候，我們老師講的第一道例題就是這道，以下是動態規劃的思路表格：

\	具體內容
$dp \left[ x \right]$	序列前$x$個數中，必須包含$a \left[ x \right]$的最大連續序列和
初始狀態	$dp \left[ 1 \right] = a \left[ 1 \right]$
狀態轉移方程	$dp \left[ x \right] = \begin{cases} dp \left[ x-1 \right] + a\left[ x \right] & {dp\left[ x-1 \right] \geq 0}\\ a \left[ x \right] & {dp\left[ x-1 \right] < 0} \end{cases}$
計算結果	$\max \limits_{1 \leq i \leq n} dp \left[ i \right]$

再來分析一下這個動態規劃的合理性。

1、$dp \left[ x \right]$的設計
最大連續子序列和必然是序列的前$i$個數中、以某個$a \left[ i \right]$結尾的一個序列。

2、狀態轉移方程
我們很容易看出，在這種$dp \left[ x \right]$的設計下，爲了使$dp \left[ x \right]$能夠達到最大值，$dp \left[ x \right]$的計算只有兩種選擇：

• ①併入前面$dp \left[ x-1 \right]$對應的序列，繼續拼接形成新的連續子序列。
• ②捨棄前面$dp \left[ x-1 \right]$對應的序列，自己本身單獨形成一個新的連續子序列。

這兩種方式我們要找到一個值最大的，也就是$dp \left[ x \right] = \max \left\{ dp \left[ x-1 \right]+a \left[ x \right] , a \left[ x \right] \right\}$，其實和上面表格中列出的公式是一個意思，可能顯得簡化一些。

3、初始狀態
最初始的狀態很顯然就是前1個數中必須包含$a \left[ 1 \right]$的最大連續子序列和，$dp \left[ 1 \right] = a \left[ 1 \right]$.

4、計算結果
最終的結果就是所有$dp \left[ x-1 \right]$中，值最大而且還靠前的那組解。

對於位置信息，我們也可以另外寫上一個start數組，用$\text{start} \left[ x \right]$來標記$dp \left[ x \right]$對應序列的起始位置。每個案例的輸出結果依次爲$dp \left[ x \right]$、$\text{start} \left[ x \right]$、$x$.

對於格式要求，兩個案例間一個空行，可以理解爲最後一個案例後不加空行。因此，只要在打印時，根據案例計數器作一個判斷就可以了。

題解代碼

HDU（C++/G++）AC代碼如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int a[100005];
int dp[100005];
int start[100005];

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);

	//數據準備
	int T;
	int cnt = 1;
	int n;
	//樣例數
	cin >> T;
	while (T--)
	{
		//接收輸入
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			cin >> a[i];
		//初始化狀態
		dp[1] = a[1];
		start[1] = 1;
		//狀態轉移，開始dp
		//狀態轉移方程：
		//    dp[x] = dp[x - 1] + a[x]（dp[x - 1] >= 0）
		//    dp[x] = a[x]（dp[x - 1] < 0）
		for (int i = 2; i <= n; ++i)
		{
			if (dp[i - 1] >= 0)
			{
				dp[i] = dp[i - 1] + a[i];
				start[i] = start[i - 1];
			}
			else
			{
				dp[i] = a[i];
				start[i] = i;
			}
		}
		//搜素結果
		int maxt = 1;
		for (int i = 2; i <= n; ++i)
			if (dp[i] > dp[maxt])
				maxt = i;
		//輸出結果
		cout << "Case " << cnt++ << ':' << endl;
		cout << dp[maxt] << ' ' << start[maxt] << ' ' << maxt << endl;
		if (T)
			cout << endl;
	}

	return 0;
}

評價

這道題算是一道動態規劃(dp)的入門題，要想熟練使用dp，還是得多刷題長長見識啊。