計算機中的整數與浮點數

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1 整數

• 整數在計算機中使用補碼錶示。

  • 補碼：正數的補碼=原碼；負數的補碼=反碼+1，如

    • [+1]_補 = 0000 0001
    • [- 1]_補 = 1111 1111

  • 補碼的作用:

    • 一是爲了將減法轉爲加法，[A-B]_補=[A]_補+[-B]_補碼，
    • 二是統一+0和-0。[+0]_補=[-0]_補

  • 補碼轉爲原碼

    • 原碼=補碼的補碼
    • 原碼= 補碼-1的反碼

原碼：原碼就是直接將數轉爲二進制，對於有符號的數來說，用第一位表示符號，1表示負數，0表示正數。 >其餘位表示值。如：

[+1]_原 = 0000 0001
[- 1]_原 = 1000 0001

反碼：正數的反碼=原碼；負數的反碼：符號位不變，其他位按位取反。如：

[+1]_反 = 0000 0001
[- 1]_反 = 1111 1110

2 浮點數

2.1 IEEE規定浮點數在計算機中的表示方法

浮點數在計算機中不是以二進制原碼來表示，而是用二進制科學計數法表示

• 將十進制浮點數轉爲二進制浮點數

• 將二進制浮點數用規範的二進制科學計數法表示爲：±1.bbbb...∗2i$\pm 1.bbbb...\ast 2^i$

  • ±叫做符號位，放在左邊第一位。
  • bbb…叫做尾數，放在尾數域中，由於規範的二進制科學計數法的第一位都是1，所以省略
    
    • float（4B）中尾數域爲佔23尾，精度爲24位
    • double（8B）中尾數域佔52尾，精度爲53位
  • i叫做實際指數，由於指數有正有負，而負數的補碼與原碼不同，爲了解決這個問題，給實際指數i加上一個偏差後放在指數域中
    
    • 對於單精度float類型，指數域有８位，可以表示0~255，實際值爲-127~128，其中0和255用於保存特殊值，偏差爲127。
    • 對於雙精度double類型，指數域有11位，可以表示0~2047，實際值爲-1023~1024，其中0和2047用於保存特殊值，偏差爲1023。

• 符號域、指數域、尾數域的佔位情況

  • 對於float類型的數據，其在內存中的表示爲：
  • 對於double類型，其表示形式如下：

• IEEE特殊值規定

  • NaN錯誤
    
    • 實數範圍內發生對負數開平方時產生此錯誤
    • 指數域全爲1，尾數域不全爲0，表示該錯誤
  • 正負無窮大
    
    • 兩個大數相乘產生的上溢，IEEE規定此時不是將結果舍入爲可以保存的最大的浮點數（因爲這個數可能離實際的結果相差太遠而毫無意義），而是將其舍入爲無窮。
    • 指數域全1，尾數域全0，表示該值
  • 正負0
    
    • IEEE 標準的浮點數格式中，小數點左側的1是隱藏的，而零顯然需要尾數必須是零。因此零也就無法直接用這種格式表達而只能特殊處理
    • 指數域全0，尾數域全0，表示該值
  • 非規範化浮點數：±0.bbbb...∗2i$\pm 0.bbbb...\ast 2^i$
    
    • 兩個極小數相減的差可能會下溢
    • 指數域全0，尾數域不全0，表示此時採用非規範浮點數，非規範浮點數的指數偏差比規範浮點數大1。

2.2 計算機中表示的浮點數轉爲十進制

十進制=(−1)符號位(1+∑i=1尾數域長度(b尾數域長度−i∗2−i))∗2指數域值（移碼表示）−偏差$$十進制=(-1{)}^{符號位}(1+\sum _{i=1}^{尾數域長度}(b_{尾數域長度-i}\ast 2^{-i}))\ast 2^{指數域值（移碼表示）-偏差}$$

示列：

13.5十進制=(−1)1(1+∑i=123(b23−i∗2−i))∗2130−127$${13.5}_{十進制}=(-1{)}^1(1+\sum _{i=1}^{23}(b_{23-i}\ast 2^{-i}))\ast 2^{130-127}$$

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