供應鏈單級多週期庫存補貨模型

供應鏈單級多週期庫存補貨模型

1. 經典EOQ模型及其基本假設

1.1. 什麼是EOQ

EOQ，即 經濟訂購批量模型，是庫存模型的理論基礎，也是庫存理論的基礎模型，其核心是：在訂貨成本與庫存成本之間尋找一個平衡，使得訂貨能夠滿足市場預估需求，而且成本最小化。可以用下面的一幅圖來表示，訂貨成本逐漸下降，是因爲隨着訂貨量的增加，可以拿到數量價格折扣，同時單位運輸成本也會下降，這是符合人們的直覺的，但是隻要訂貨就會產生庫存費用，而且庫存費用是遞增的。因此，一定有一個平衡點，使得訂貨成本和庫存持有成本最小化的。

基於EOQ模型，學界和工業界根據具體的市場情況發展並豐富了EOQ模型，包括多級庫存理論，需求變化和庫存成本變化的EOQ，時變運輸週期的EOQ，能力受限的EOQ 等，因此，我們要知道，EOQ雖然重要，但是也包含着極大的缺陷，很難直接應用在現實的供應鏈採購和倉儲管理之中，當然現實中還是有很多產品是符合EOQ的基本假設要求的，比如方便麪，牙膏，大米等不受季節因素或其他市場因素明顯影響且銷量穩定的產品，當然，真正頭疼的並不是這類型的產品。

1.2. EOQ基本假設

不管學習什麼數學模型，總是要先看其基本假設和適用範圍，EOQ也不例外。
EOQ的基本假設如下：
- 不允許缺貨，即缺貨費用Cs無窮大。
- 當庫存將至零，可以立即得到補充（生成時間很短，可以近似看做零）。
- 需求是連續的，均勻的，需求速率是R
- 每次訂貨量Q不變，訂購費C0不變（每次生產量不變，裝配費不變）。
- 單位存儲成本不變。

其補貨和庫存變化如下圖：

1.3. EOQ的數學推導

一個週期t內的總存儲量爲：

12Qt$$\frac{1}{2}Qt$$

一個週期t內的總費用 F(t)=訂購費+存儲費+貨物成本費
=訂購費率 x 訂購次數+總存儲量 x 存儲費率+貨物單價P x 貨物總需求量
= C0×1+12QtCh+PRt$C_0\times 1+\frac{1}{2}Qt{C}_h+PRt$

單位時間內的總費用（庫存系統總費用率）爲：

f(Q)=F(t)t=C0×1+12QtCh+PRtt=C0RQ+12ChQ+PR$$f(Q)=\frac{F(t)}{t}=\frac{C_0\times 1+\frac{1}{2}Qt{C}_h+PRt}{t}=\frac{C_{0}R}{Q}+\frac{1}{2}{C}_{h}Q+PR$$

其中：f0=C0RQ,fh=12ChQ$f_0=\frac{C_{0}R}{Q},f_h=\frac{1}{2}{C}_{h}Q$ ,前者是單位時間的訂購費，後者是單位時間的存儲費，PR是常數，在考慮存儲系統總費用時，PR可以忽略不計。

最優存儲策略：
在求極值的數學問題中，另導數爲零，可以得到最優的訂購策略。
另 df(Q)dQ=0$\frac{df(Q)}{dQ}=0$ ，得
- 1 最佳訂購批量（或最大庫存量）

Q∗=2RC0Ch−−−−−√$$Q^{\ast }=\sqrt{\frac{2R{C}_0}{C_{\mathrm{h}}}}$$

這就是著名的經濟訂購批量檢查EOQ公式.
- 2 最優存儲週期(訂貨週期)

t∗=Q∗t=2C0RCh−−−−−√$${\mathrm{t}}^{\ast }=\frac{Q^{\ast }}{t}=\sqrt{\frac{2C_0}{R{C}_h}}$$

- 3 最優總存儲費用

f∗=f0∗+fh∗=2RC0Ch−−−−−−−√$$f^{\ast }={f_0}^{\ast }+{f_h}^{\ast }=\sqrt{2R{C}_0{C}_{\mathrm{h}}}$$

2. 需求變化的EOQ模型

需求變化的EOQ描述

從經典的EOQ模型假設出發，我們看到，EOQ假設需求穩定且恆定，每個週期的訂貨量都是一定的，而且週期長度都一樣，在現實中有很多產品不是這樣的，特別是有明顯季節性的服裝產品，有明顯生命週期的電子產品，在每個週期內的銷量明顯不一樣，上市前期進行試推廣預售，然後銷量快速上升，過了銷售旺季或者生命週期頂峯後，進入衰退期，銷量趨勢如下圖：

動態規劃求解需求變化問題

對於多週期訂購問題，可以通過動態規劃的方法求解。
其實從人腦的簡單思維來說，遇到這種組問題，首先想到的不是什麼算法，而是暴力搜索，一個個數湊總是能湊出來的。而動態規劃，就是暴力搜索的一種改進，可以以你想不到的效率找到最優解，而不是一個個組合參數去嘗試。
多說一個，其實很多智能優化算法，其本質也是這種暴力搜索的改進，本質很是暴力搜索。說來也有趣，智能優化算法是沒有嚴格的數學推導的，但是結果還不錯，比如粒子羣算法，遺傳算法，禁忌搜索算法等。

這裏講一下使用動態規劃求解的方法，使用運籌學中的一個例子說明問題，把生產換成採購，就是最開始說的EOQ問題了。
問題描述如下：
未來3個月的銷量預測已知，爲3w，4w，3w，如果啓動生成，則啓動費用爲3萬每次，而且每個產品的成本是1元，每件產品的每月的存儲費用爲0.7元。
第一個月和第四個月的庫存爲0，求最優生產計劃。

–>1月–>2月–>3月–>4月

變量如下：
k: 表示不同的階段,這裏有4個月，則k=1,2,3,4
Sk:表示月初庫存，因爲第1,4個月的月初庫存爲0,則S1=0, S4=0
xk:表示決策變量，即當月要生產的量，1月肯定是要生產的，因爲此時庫存爲0，而且1月生產的可以留着以後買，如果1月生產未來全部月份的需求，則1月最大生產爲10w，同理，2月生產的只能是2月和3月賣，因此2月最大生產7w，3月最大生產3w。
x1={3,4,5,6,7,8,9,10}, x2={0,1,2,3,4,5,6,7}, x3={0,1,2,3}
狀態轉移方程：

SK+1=SK+xk−dk$$S_{\mathrm{K}+1}=S_K+x_k-d_k$$

dk$d_k$ 是每月的需求量，SK$S_K$ 是月初庫存
階段指標函數（成本=生產費用+存儲費用）rk(xk)$r_k(x_k)$

rk(xk)={3+xk+0.7Sk,xk>00.7Sk,xk=0$$r_{\mathrm{k}}(x_k)=\{\begin{array}{l}3+x_k+0.7S_k,x_k>0\\ 0.7S_k,x_k=0\end{array}$$

遞推方程：

fk(SK)=Min([rk(xk)+fk+1(Sk+1)],k=1,2st.xk≥0Sk+xk≥dk$$\begin{array}{l}{f}_k(S_K)=M\mathrm{i}\mathrm{n}([r_{\mathrm{k}}(x_k)+f_{k+1}(S_{k+1})],k=1,2\\ st.\\ x_k\ge 0\\ S_k+x_k\ge d_k\end{array}$$

3. 考慮訂購提前期的EOQ模型

在前面的EOQ假設中，有一個假設就是補貨能力無窮大，能夠做到瞬時補貨。什麼意思呢，就是我在1號下單，貨物馬上就能送到倉庫。這是不符合現實情況啊，就算是京東物流起碼也要半天啊，國內快遞一般2-3天，因此這也是EOQ不合理的地方。
但是不影響我們使用啊，因爲我們可以通過業務流程優化來到達瞬時補貨的功能。
比如，EOQ模型中，4月1號需要補貨，實際的訂購提前期是5天，那麼我們只要在3月25日下達訂單，那麼4月1日就會有一批貨物到達倉庫入庫，和EOQ模型保持一致了。如下圖：

4.動態規劃求解多週期庫存python代碼

待補充.