多重集合的排列
定理：設S是多重集合，他有k種不同類型的對象，每一種類型的有限重複數是n1，n2，n3，…nk。設S的大小爲n=n1+n2+n3+…nk。則S的n排列數目爲n!/(n1!n2!n3!…nk!)
證明：
先從S中選出n1個位置放a1，有C（n，n1）种放法，再選出n2個位置放a2，有C（n-n1，n2）种放法……
由乘法原理得：
S的排列個數=C（n，n1）*C（n-n1，n2）*C（n-n1-n2，n3）*…*C（n-n1-n2-…-nk-1，nk）
∵C（n，r）=p（n，r）/r！=n！/[r!*(n-r)!]
∴原式= n！ (n-n1)! (n-n1-n2-…-nk-1)!
--------- * ----------- * … *----------------------
n!(n-n1)! n2!(n-n1-n2)! nk!(n-n1-n2-…-nk)!
去公因式可得證
如果S只有2種對象a1，a2，重複數分比爲n1，n2，其中n=n1+n2
那麼由以上定理可得
S的排列數=n！（n1!n2!）=n!/[n1!*(n-n1)!]=C(n,n1)
所以C（n，n1）即可以看做n對象集合的n1子集數量，
也可以看做有兩種類型的對象且重複數分別是n1和n-n1的多重集合排列數
定理：設n是正整數，並設n1，n2，…，nk，是正整數，且n=n1+n2+…nk。把n對象集合劃分爲k個標有標籤的盒子，且第1個盒子含有n1個對象，第2個盒子含有n2個對象，…，第k個盒子含有nk個對象，這樣的劃分方法數=n！（n1！n2！…nk！）
如果盒子沒有標籤，且n1=n2=n3=…=nk，那麼劃分數=n！（k！n1!n2!…nk！）
定理：有k種顏色的n個車，第一種顏色有n1個，第二種顏色有n2個，…，第k種顏色有nk個。把這些車放在一個n*n的棋盤上使車之間不能互相攻擊的方案數=（n！）²/（n1！n2！…nk！）
所以，一種顏色的n個車有n！種方法，n種顏色的n個車有（n！）²個
感性認知：
放置n個同顏色的車與n的排列有一一對應關係。即n的排列有n！種，每種排列放置的行不一都是一種新方案。顏色限制，相當於多重集合S的n排列。
注：以上所有公式前提：n=n1+n2+…nk
若兩邊不相等時
例：S={3*a，2*b，4*c}，求S的8排列數
解：S的集合可被劃分爲3個部分，由多重集合排列公式可得：
① 少一個a：s1=8！/（2！*2！*4!）
② 少一個b：s2=8！/（3！*1！*4!）
③ 少一個c：s3=8！/（3！*2！*3!）
ans=s1+s2+s3
錯解：s1=6！/（2！*4！）*C（7,2）
訂正：s1=6！/（2！*4！）*[C（7,2）+C（7,1）]
因爲2個a可以挨着
多重集合的組合
定理：設S是有k種類型對象的多重集合，每種元素均具有無限重複數。那麼S的r組合的個數
=C（r+k-1，r）=C（r+k-1，k-1）
證明：
設S={∞*a1,∞*a2,…,∞*ak}，使得
S的任意r組合呈{x1*a1,x2*a2…,xk*ak}的形式，其中x1,x2,…,xk均爲非負整數，且x1+x2+…+xk=r。反過來，每個滿足x1+x2+…+xk=r的非負整數序列x1，x2，…，xk對應於S的一個組合。因此，S的r組合個數=方程x1+x2+…+xk=r的解的個數。
我們證明，這些解的個數=有兩種那個不同類型對象且有r+k-1個對象的多重集合
T={r*1，（k-1）*0}
的排列的個數。
給定T的一個排列，k-1個0把r個1分爲k組，第1個0左邊有x1個1，第1個0和第2個0中間有x2個1，……第k-1個0右邊有xk個1。於是，x1，x2，…，xk是滿足x1+x2+…xk的非負整數。反之成立。把上述步驟倒推並構造T的一個排列，
於是多重集合S的r組合數目=多重集合T的排列的個數
=（r+k-1）！/（r！*（k-1）！）=C（r+k-1，r）
證畢
可以通過對xi的限制來達到對每種類型的對象出現次數的限制
例：設S是有4種類型的對象a，b，c，d的多重集{10*a，10*b,10*c,10*d}。每一種類型的對象至少出現一次的S的10組合的個數是多少
解：①分析出可以忽略S中重複數10的限制
②ans=x1+x2+x3+x4=10的正整數解的個數
③另y1=x1-1，y2=x2-1，y3=x3-1，y4=x4-1
則方程變爲y1+y2+y3+y4=6 ，yi爲非負整數
所以ans=C（6+4-1,6）
組合中每種類型出現下界都可以通過變量替換處理
例：方程x1+x2+x3+x4=20 ，x1>=3,x2>=1,x3>=0,x4>=5
的解的個數是多少
解：y1=x1-3,y2=x2-1,y3=x3,y4=x4-5
方程轉化爲 y1+y2+y3+y4=11
所以ans=C（11-4+1,11）
這裏都是給出了x的下界，x若是給出上界不能這樣處理
給出上界需要結合容斥原理
有限概率
特點：結果有限，每個結果等可能
例1：設n是正整數。假設在1和n之間隨機選出一個整數序列i1,i2，…,in
（1）這個選出的序列是1，2,3，…，n的排列的概率是多少
（2）這個序列正好含有n-1個不同的整數的概率是多少
解：（1）樣本空間|S|=n^n，事件集合|E|=n！ 所以ans=n！/n^n
（2）題目理解：n-1個整數不同，即有1個整數出現了2次，有1個整數沒有出現
將n個數分爲3類：
① 沒有出現的整數，有n種可能
則② 出現2次的整數，有n-1種可能，他的出現位置有C（n，2）種
則③剩下的n-2個整數 ，放置方式有（n-2）！種
所以ans=n*（n-1）*C（n，2）*（n-2）！
例2:5個彼此相同的車隨機放置在8*8棋盤的非攻位置上，這些車既在行1,2,3,4,5又在列4,5,6,7,8上的概率是多少
解：樣本空間|S|=棋盤上放5個非攻車的方案數=C（8,5）*5！
事件|E|=5！
所以ans=5！/（C（8,5）*5！）
C（8,5）:從8個行座標，8個列座標選出5個行座標，5個列座標的方案數
|S|中 5！對選出來的每組行列座標，列座標排列分配給行座標的方案數
聯想上面n個相同的車放n*n期盼方案數爲n！，因爲選出n個行座標，n個列座標的方案數爲1
|E|中 5！：有5！中方法把這5個車放到5*5棋盤上