FMCW雷達距離多普勒(RDM)處理方法中距離分辨率和速度分辨率的推導

距離多普勒(Range-Dopple Matrix)處理方法

  衆所周知，距離多普勒處理方法(Range-Dopple Matrix，簡稱RDM)是FMCW雷達進行多目標信息提取的有效手段，通過對雷達發送的多個週期的Chirp序列以及回波信息進行快時間維度和慢時間維度的處理，即可得到距離多普勒熱力圖，進而可以提取多目標的距離和速度信息。

  在FMCW的差拍信號中，我們知道，差拍信號的頻率爲
$f_{movingBeat} = f_{staticBeat} \pm f_d = \frac{2f_cR}{Ct_c} \pm \frac{2fv}{C} \tag 1$  其中$f_{movingBeat}$和$f_{staticBeat}$分別爲目標運動和靜止狀態下差拍信號的頻率，$f_d$爲多普勒頻率，$f_c$爲掃頻帶寬，$R$爲目標距離，$C$爲光速，$t_c$爲掃頻週期，$f$爲Chirp信號中心頻率，$v$爲目標速度。

快時間維度處理(Range-FFT)

  快時間維度即單個週期的Chirp序列掃頻週期時間很短，短到幾乎可以將多普勒頻率帶來的影響忽略不計($t_c$↓，公式(1)中$f_{staticBeat}$項佔了主要的位置)，認爲此時通過RDM熱力圖提取到的動目標在距離維度上的動目標差頻$f_{movingBeat}$與靜目標差頻$f_{staticBeat}$近似相等，即$f_{movingBeat} \approx f_{staticBeat} = \frac{2f_cR}{Ct_c} \tag 2$  那麼通過快時間維度的每一幀數據，提取頻譜峯值對應的橫座標頻率，即可對目標的距離進行求解；即$R = \frac{Ct_c}{2f_c}\cdot f_{staticBeat} \tag 3$  快時間維處理示意圖如下

慢時間維度處理(Doppler-FFT)

  因爲我們知道，在快時間維的處理中，認爲速度帶來的影響忽略不計，通過對多個Chirp序列進行多幀數據的堆積，此時在第二個維度上(即慢時間維度上，多幀數據對應的同一距離單元上)速度帶來的頻率影響就不可忽略，此時慢時間維度上求得的頻率即爲多普勒頻率，即$f_d = \frac{2fv}{C} \tag 4$  所以有$v = \frac{f_dC}{2f} \tag 5$
  慢時間維處理示意圖如下

  慢時間維度的處理是經過多個Chirp序列積累後對同一距離單元進行FFT的結果，故稱爲慢時間維度，

  爲什麼是同一距離單元？
  因爲Range-FFT中同一個橫座標對應相同的$f_{movingBeat}$，快時間維度下$f_{movingBeat}$約等於$f_{staticBeat}$，由公式(2)和公式(3)可知，對應同一距離單元

  快時間維度和慢時間維度處理總覽

  經過處理後可得到如下的距離多普勒熱力圖(Range-Dopple Heat Map)

RDM中距離分辨率和速度分辨率推導方法

  網上關於RDM方法中距離分辨率和速度分辨率推導的資料實在太少，幾乎都是兩個長得不太好看公式直接糊你臉上，我的感受就是老人、地鐵、看手機.jpg(此處省略表情包)，於是決定記錄下推導過程，正所謂難者不會，會者不難。
  首先回顧下數字信號處理中第K個採樣點的頻率$f_k$與採樣頻率$f_s$間的關係，我們知道，第K個採樣點的角頻率服從如下關係
$\omega_k = \frac{k}{N_s}\cdot2\pi = \Omega\cdot T_s = 2 \pi f_k\cdot \frac{1}{f_s}$
  其中$N_s$爲採樣點數，$\Omega$爲模擬角頻率，$T_s$爲採樣頻率，我們取出等式中的第二項和第四項，有
$\frac{k}{N_s}\cdot2\pi =2 \pi f_k\cdot \frac{1}{f_s}$  可得第K個採樣點的頻率$f_k$與採樣頻率$f_s$間的關係爲
$f_k = k\cdot \frac{f_s}{N_s} \tag 6$
  到此就可以正式展開距離分辨率和速度分辨率的推導方法了，上一部分我們說到快時間維度的Range-FFT和慢時間維度的Doppler-FFT，有兩個結論性的公式
$f_{movingBeat} \approx f_{staticBeat} = \frac{2f_cR}{Ct_c} \tag 7$ $f_d = \frac{2fv}{C} \tag 8$  假設上一部分中距離多普勒熱力圖中，$n_1$爲Range-FFT(快時間維度)中目標對應的座標序列號，$n_2$爲Doppler-FFT(慢時間維度)中同一目標對應的座標序列號，則依照公式(6)可得
$f_{movingBeat} = \frac{n_1}{N_s} \cdot f_s \tag 9$ $f_d = \frac{n_2}{N_{Chirp}} \cdot \frac{1}{t_c} \tag {10}$  其中$N_{Chirp}$爲慢時間維度處理中Chirp序列的積累個數；公式(9)類比公式(6)，比較好理解，公式(10)也是類比公式(6)，只不過此時在慢時間維度上採樣總數是積累的Chirp序列的總數，採樣頻率是每一個Chirp序列掃頻週期的倒數，即$\frac{1}{t_c}$
  由此以來，分別聯立公式(7)和公式(9)，聯立公式(8)和公式(10)，可得
$\frac{2f_cR}{Ct_c} = \frac{n_1}{N_s} \cdot f_s$ $\frac{2fv}{C} = \frac{n_2}{N_{Chirp}} \cdot \frac{1}{t_c}$   可解得
$R = \frac{C}{2f_C}\cdot t_c\cdot \frac{n_1}{N_s}\cdot f_s \tag{11}$
$v = \frac{C}{2f} \cdot \frac{n_2}{N_{Chirp}}\cdot \frac{1}{t_c}\tag{12}$  因爲
$t_c = N_s\cdot T_s = \frac{N_s}{f_s} \tag{13}$ $t_{seq} = N_{Chirp}\cdot t_c\tag{14}$  將(13)代入(11)，將(14)代入(12)，可得
$R = \frac{C}{2f_c} \cdot n_1$$v = \frac{C}{2ft_{seq}} \cdot n_2$  此時，就得到了距離分辨率和速度分辨率，分別爲
$R_{res} = \frac{C}{2f_c}$ $v_{res} = \frac{C}{2fN_{Chirp}t_c} = \frac{C}{2ft_{seq}}$

參考資料

• Automotive radar 信號處理 第2課 速度估計
• Radar測距及測速原理(2)——快速Chirp序列方法推導及實際應用
• 2D CFAR的原理，其實沒那麼的神奇