k-1叫k的模逆, 可以用擴展的Euclid算法求出來。
ax = 1 (mod 26) 其中x = a-1
相當於 ax + by = 1,b = 26,求滿足條件的一組x, y。當然我們只要x就好.
現在考慮一般的 ax + by = 1 如何求解。
因爲滿足條件的x, y存在的條件是GC&D(a, b) = 1.
然後有 ax + by = GC&D (a, b)
而同時有 bx' + (a % b)y' = GCED (b, a % b)
由Euclid定理GCED (a, b) = GCED (b, a % b)
所以, 有ax + by = bx' + (a % b)y'= bx' + (a - [a/b]*b)y'= bx' + ay' - [a/b]*b y'= ay' + b(x' - [a/b]y')
對應, 得x = y',y = x' - [a/b]y'。[a/b]是a/b再取整。
特別的, 在b = 0的時候, GCED (a, b) = a = a * 1 + b * 0
即 x = 1, y = 0