最大子序列和問題(letCode 53)

問題描述

給定一個整數數組 nums ，找到一個具有最大和的連續子數組（子數組最少包含一個元素），返回其最大和。

示例

輸入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
輸出: 6
解釋: 連續子數組 [4,-1,2,1] 的和最大，爲 6。

問題分析

假設我們現在用 p 表示以第三個數字爲結尾的最大和，那麼以第四個數字的爲結尾的最大和就是 p + 第四個數 和 第四個數中的較大的一個。假設我們用 temp[n] 表示以n爲結尾的最大和，那麼就有下面這條動態公式：

temp[ n ] = num[ n ] + temp[ n+1 ] > num[ n ] ?  num[ n ] + temp[ n+1 ] : num[n]

因此只需要遍歷從1~n 爲結尾的最大和，找出其中最大的一個即可。

動態規劃

public int maxSubArray(int[] nums) {
    if (nums == null || nums.length == 0) {
        return 0;
    }
    int[] temp = new int[nums.length];
    int result = nums[0];
    temp[0] = result;
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        temp[i] = nums[i] + temp[i - 1] > nums[i] ? nums[i] + temp[i - 1] : nums[i];
        result = result > temp[i] ? result : temp[i];
    }
    return result;
}

我們可以看到上述動態方程中，每次循環只和上次循環結果有關，因此可以優化一維數組，通過一個數字表示該值，優化後的代碼如下：

public int maxSubArray2(int[] nums) {
    if (nums == null || nums.length == 0) {
        return 0;
    }
    int result = nums[0] , temp = nums[0];
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        temp = temp + nums[i] > nums[i] ? nums[i] + temp : nums[i];
        result = result > temp ? result : temp;
    }
    return result;
}

當然除了上面這種思路，這道題還可以通過 “分治法”來解決。一開始我不是很理解這裏的“分治”是什麼意思，直到我看到這句話：無論哪種情況，最大子序列所對應的數組都只有以下三種情況：在左子數組上、在右子數組上、過中間元素，三種情況。而對於左子數組(右子數組)的最大子序列也可以通過該思路來解決，因此本題可以使用分治的思路來解決：

分治法

public int echo(int[] num, int left, int right) {
    if (left == right) {
        return num[left];
    }
    int p = (left + right) / 2;
    int leftValue = echo(num, left, p);
    int rightValue = echo(num, p + 1, right);
    int centerValue = jundgeCenter(num, left, right, p);
    return Math.max(Math.max(leftValue, rightValue), centerValue);
}

public int jundgeCenter(int[] num, int left, int right, int center) {
    if (left == right) {
        return left;
    }
    int leftValue = Integer.MIN_VALUE;
    int temp = 0;
    for (int i = center; i > left - 1; i--) {
        temp = temp + num[i];
        leftValue = Math.max(temp, leftValue);
    }
    int rightValue = Integer.MIN_VALUE;
    temp = 0;
    for (int j = center + 1; j < right + 1; j++) {
        temp = temp + num[j];
        rightValue = Math.max(temp, rightValue);
    }
    return leftValue + rightValue;
}