相機模型
數碼相機圖像拍攝的過程實際上是一個光學成像的過程。相機的成像過程涉及到四個座標系：世界座標系、相機座標系、圖像座標系、像素座標系以及這四個座標系的轉換。
理想透視模型——針孔成像模型
相機模型是光學成像模型的簡化，目前有線性模型和非線性模型兩種。實際的成像系統是透鏡成像的非線性模型。最基本的透鏡成像原理如圖所示：
其中 u 爲物距， f 爲焦距，v 爲相距。三者滿足關係式：
相機的鏡頭是一組透鏡，當平行於主光軸的光線穿過透鏡時，會聚到一點上，這個點叫做焦點，焦點到透鏡中心的距離叫做焦距 f。一般地，由於物距遠大於焦距，即 u>>f，所以 v≈f，此時可以用小孔模型代替透鏡成像，數碼相機的鏡頭相當於一個凸透鏡，感光元件就處在這個凸透鏡的焦點附近，將焦距近似爲凸透鏡中心到感光元件的距離時就成爲小孔成像模型。小孔成像模型如圖所示。
小孔成像模型是相機成像採用最多的模型。在此模型下，物體的空間座標和圖像座標之間是線性的關係，因而對相機參數的求解就歸結到求解線性方程組上。四個座標系的關係圖如下圖所示，其中 M 爲三維空間點，m 爲 M 在圖像平面投影成的像點。
①世界座標系：是客觀三維世界的絕對座標系，也稱客觀座標系。因爲數碼相機安放在三維空間中，我們需要世界座標系這個基準座標系來描述數碼相機的位置，並且用它來描述安放在此三維環境中的其它任何物體的位置，用（Xw, Yw, Zw）表示其座標值。
②相機座標系（光心座標系）：以相機的光心爲座標原點，X 軸和Y 軸分別平行於圖像座標系的 X 軸和Y 軸，相機的光軸爲Z 軸，用（Xc, Yc, Zc）表示其座標值。
③圖像座標系：以CCD 圖像平面的中心爲座標原點，X軸和Y 軸分別平行於圖像平面的兩條垂直邊，用( x , y )表示其座標值。圖像座標系是用物理單位（例如毫米）表示像素在圖像中的位置。
④像素座標系：以 CCD 圖像平面的左上角頂點爲原點，X 軸和Y 軸分別平行於圖像座標系的 X 軸和Y 軸，用(u , v )表示其座標值。數碼相機採集的圖像首先是形成標準電信號的形式，然後再通過模數轉換變換爲數字圖像。每幅圖像的存儲形式是M × N的數組，M 行 N 列的圖像中的每一個元素的數值代表的是圖像點的灰度。這樣的每個元素叫像素，像素座標系就是以像素爲單位的圖像座標系。
像素座標系與圖像座標系的關係如圖。
他們之間的轉換關係爲：
採用齊次座標再用矩陣形式將上式表示爲：
其中（u0, v0）是圖像座標系原點在像素座標系中的座標，dx 和 dy分別是每個像素在圖像平面x和 y方向上的物理尺寸。
圖像座標系與相機座標系的轉換爲：
其中 f 爲焦距（像平面與相機座標系原點的距離）。用齊次座標系和矩陣表示上述關係：
相機座標系與世界座標系的變換爲：
其中 R 爲3 × 3正交旋轉矩陣，t 爲三維平移向量，綜合起來：
ax, ay分別是圖像水平軸和垂直軸的尺度因子。K的參數中只包含焦距、主點座標等只由相機的內部結構決定，因此稱 K 爲內部參數矩陣，ax, ay , u0, v0叫做內部參數。M1中包含的旋轉矩陣和平移向量是由相機座標系相對於世界座標系的位置決定的，因此稱M1爲相機的外部參數矩陣，R和t叫做外部參數，M 叫投影矩陣。相機標定就是確定相機的內部參數和外部參數。
實際成像模型
理想的透視模型是針孔成像模型，物和像會滿足相似三角形的關係。但是實際上由於相機光學系統存在加工和裝配的誤差，透鏡就並不能滿足物和像成相似三角形的關係，所以相機圖像平面上實際所成的像與理想成像之間會存在畸變。畸變屬於成像的幾何失真，是由於焦平面上不同區域對圖像的放大率不同形成的畫面扭曲變形的現象，這種變形的程度從畫面中心至畫面邊緣依次遞增，主要在畫面邊緣反映比較明顯。爲了減小畸變，拍攝圖片時應儘量避免用鏡頭焦距的最廣角端或最遠端拍攝。實際的相機成像模型如下圖所示。
其中 mr(xr,yr)表示實際投影點的像平面座標系下的物理座標，mi(xi,yi)表示理想投影點的像平面座標系下的物理座標。鏡頭的畸變模型可表示爲：
σx 和σy是非線性畸變值，它包括徑向畸變和偏心畸變和薄棱鏡畸變等。
理論上來說鏡頭都存在徑向和切向畸變，但是通常徑向畸變較大，切向畸變較小。徑向畸變的模型可由下面的模型來表示：
其中k1 k2 k3……示徑向畸變係數，
偏心畸變模型是由於多個光學鏡頭的光軸不能完全共線產生的，這種畸變是由徑向和切向畸變共同構成的，數學模型可表示如下：
其中p1, p2爲切向畸變係數。薄棱鏡畸變是由於鏡頭設計製造缺陷和加工安裝所造成的，如鏡頭與相機成像平面有一個很小的傾角等。因爲薄棱鏡畸變非常小，通常不考慮，這裏只考慮徑向畸變和偏心畸變，畸變總的可以表示爲：
實際的成像模型爲：
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光線通過相機鏡頭後最終成像在感光陣列(CCD或CMOS)上，然後感光陣列將光信號轉化爲電信號，最後形成完整的圖像。我們用dx和dy分別表示感光陣列的每個點在x和y方向上物理尺寸，即一個像素是多少毫米，這兩個值一般比較接近，但由於製造工藝的精度問題，會有一定誤差，同樣的，感光陣列的法向和相機光軸也不是完全重合，即可以看作成像平面與光軸不垂直。
我們用仿射變換來描述這個過程，如上圖，O點是圖像中心點，對應圖像座標(u0，v0)，Xd - Yd是真實圖像座標系，U-V是數字化圖像座標系，有：
齊次座標下有：
上式中的變換矩陣即爲相機的內參數矩陣
K，其描述了相機座標系中點到二維圖像上點的變換過程。
綜上所述，在不考慮鏡頭畸變的情況下，相機的整個成像過程可表示爲：
[1] http://blog.csdn.net/lsh_2013/article/details/47615309
[2] https://zhuanlan.zhihu.com/p/23090593