卷積：
衝擊信號會對線性系統產生衝擊響應。
衝擊信號可分解爲平移度和幅度。其對線性系統的衝擊響應可以分解爲點點間的經平移和縮放的各個衝擊響應的累加，通過卷積的表達式表示。
所謂的衝擊響應，就是線性系統對任何輸入信號的響應，描述這種輸入輸出關係的算數方法就是卷積。
以上是從輸入信號的角度看卷積，每個輸入信號上的點都產生一個縮放和平移之後的衝擊信號，然後對這些衝擊信號進行累加，即卷積。
也可以從輸出信號的角度去看，即每一個輸出信號上的點都是由一系列輸入信號和衝擊信號相互作用產生的。
一個N點的信號和一個M點的信號相卷積，其輸出有N+M-1個點。
相關是利用卷積來運算的，它能在一個信號中找到目標信號的位置（根據相關值來判斷）。
FFT：
FFT是分爲複數DFT變換和實數DFT變換(改進算法)。
複數DFT：拿一維信號來說N點的時域信號產生N個點的頻域信號，都含有實部和虛部。
實數DFT：拿一維信號來說N點的時域信號產生N/2+1個點的頻域信號，都含有實部和虛部。
FFT只所以快是因爲：
第一步，它將1個N點的信號先分解成N個1點的信號；
第二步，計算這N個1點信號的頻譜，這很好計算，因爲複數就是它自己，但現在這N個信號是頻譜信號了；
第三步，再將這N個頻譜信號按一定的規律加起來就得到了所需要的頻譜。第三步是最複雜的，是按第一步分解的反過程，那些很複雜的蝶形運算就是用於這個反過程的，它們改變信號的位置，
再通過相加將2個N/2點的信號變成1個N點的信號。
實數DFT(離散傅里葉變換):
一個離散信號在時域離散但在頻域可能週期。
DFT處理的信號的時域是離散的但又週期，頻域是週期性的但又離散。
實數DFT信號的時域有N點（其實是週期延拓，一個週期N點），可以由N/2+1個正弦信號和N/2+1個餘弦信號表示，每個正餘弦信號也是N點（也是週期延拓，一個週期N點）。
上面就是DFT的物理意義，
N點的實數經DFT之後變成 N/2+1個複數表示的點，複數的實部是正弦信號的幅度，虛部是餘弦信號的幅度。複數只是一種數學上的表示方法。
直角座標表示法： 將正餘弦幅度畫出來來表示頻譜。每個正餘弦信號的幅度可以通過相關的方法求出。
極座標表示法： 將上述 N/2+1個複數表示成模（幅度）和相位，並畫出來來表示頻譜。
頻譜的橫座標：
用點數來表示的，範圍是 0到N/2（N/2+1個數）；
分數表示法，範圍是0到0.5；
自然頻率表示法，範圍是0到π。
對DFT信號時域離散，頻域週期的物理解釋：
因爲離散信號是不連續的採樣點，這些採樣點可能是一個頻率的連續信號上的某些點，可能是比這個頻率高的連續信號上的某些點，也可能是比這個頻率低的信號上的某些點，這個就呈現出了週期性。
DFT性質
如果時域信號是左右對稱的，則其DFT變換的相位是線性的，稱作線性相位。特別的，如果時域信號關於原點左右對稱，則其頻域相位爲0，稱作0相位。
DFT時域取的點越多（採樣頻率不變），其頻譜分辨率越高。這是因爲N增加，則N/2+1越大，而頻譜的最高頻率不超過1/2的採樣頻率，所以頻譜上的間隔減小，即分辨率提高。
DFT的時域是週期性的，N個點爲週期；頻域上通常是看0到N/2-1個點，但它是關於原點對稱的，實部和幅度偶對稱，虛部和相位寄對稱，它的週期也是N個點。
時域上的平移會造成相位的斜率發生改變。
時域卷積等於頻域相乘。
一個N點的信號和一個M點的信號（N>M）卷積得到N+M-1個點。
從頻域上看N點信號的頻譜N/2+1個點，M點信號的頻譜做N點DFT之後也是N/2+1個點，兩者相乘在IDFT之後得到輸出信號時N個點，這樣就比普通卷積少了M-1個點，不要忘記DFT是週期性信號，
少了M-1點可能會造成前後輸出信號的疊加，但也可能不會只要N比有效的信號範圍來的大就行了，這種用DFT求的卷積叫圓周卷積。
圖像FFT：
圖像的DFT變化也是把圖像看成是週期延拓的信號，就像磚瓦一樣一塊塊鋪起來，其DFT變換之後的信號也是週期信號，也想磚瓦一樣一塊塊鋪起來。假設圖像爲N*N點陣，其DFT變換也是N*N點陣，
取行編號爲0、列編號爲0的點爲中心，這就是說圖像的DFT變換的編號有正有負。
在1維信號中，DFT變換把信號分解成多個正弦信號，表示信號包含有多個頻率。對圖像來說，其像素的灰度變化也是一種頻率的反映，一般來說邊沿的時候灰度的變化較爲明顯，或者說灰度變化頻率較快；
而一幅圖像的灰度如果比較平均，則表示灰度無明顯變換，其變化頻率較慢。
或者說圖像頻譜的低頻部分決定了大體上的灰度變化（比較模糊），而圖像頻譜的高頻部分決定了細節變化（邊沿）。
將圖像DFT之後，變化頻率較慢的成分就越靠近中心，而頻率變化較快的成分就越遠離中心。
圖像的頻譜也具有對稱性，實部和幅度以中心鏡像對稱；虛部和相位以中心反鏡像對稱。
圖像頻譜的相位決定了圖像的樣子，如果將另一幅圖像的幅度和本幅圖像的相位結合，還是能看出本幅的圖像，只不過灰度變化不正常。這是因爲相位決定了幅度變化的方向。
拿1維信號來說，如果有一個上升沿，那麼在這個上升沿發生的時候，很多正弦信號的相位都是一樣的，這樣就能堆起一個上升沿，應用在圖像裏面，也是同樣的道理。所以相位是決定信號的樣子的。
如果圖像中有一根很細的長條橫臥，則其頻譜的垂直方向上有更多的分量，而頻譜的水平方向上的分量較少。這是因爲頻譜上的點具有方向性，圖像上水平的直線需要更多垂直的分量來組成，
而圖像垂直方向上相對不變，所以也不需要很多水平的分量。
圖像的卷積一般用的PSF較小，比方3*3點陣的算子，常用的算子有平滑濾波和邊沿增強算子。圖像的卷積和1維信號一樣也可以從輸入信號看和輸出信號看。如果卷積比較複雜，可以用FFT卷積來做。
FIR：有限脈衝響應
通過卷積來求輸出，隨着脈衝點數的增多，其頻譜特性可以做的很好，並且可以做到使線性相位的，但是速度慢，藉助FFT卷積可以提高速度。
常用的有平滑濾波器、sinc窗函數。平滑濾波器主要用於時域平滑，可以用遞歸來實現；sinc窗函數主要用於頻域濾波。
無反饋，頻域上相位線性,在時域上體現爲信號固定延時了一個時間t, 波形沒有失真,只是時間上滯後了,語音處理，圖象處理以及數據傳輸要求頻域線性相位，任意幅度。在語音編碼的採樣之前會用一個FIR
做低通濾波，
由於無反饋，要實現相同的指標，比iir所需的階數要高很多。
物理量“相位延遲”Tp(f)=－φ(f)/(2pif); “羣延遲”Tg(f)=－dφ/dw. 當Tg(f)爲常數時，認爲這系統是無畸變的。FIR線性相位正滿足了這個要求。
IIR：無限脈衝響應，
通過遞歸方程來求輸出，不同的遞歸係數決定了濾波器的特性，濾波特性沒有FIR好，但速度快，參數級數少。由於是根據遞歸係數來確定，而不像FIR那樣是根據頻域來確定，
所以設計時很難確定頻域形狀，很難確保是線性相位。
常用的有 單極點濾波器、切比雪夫濾波器。前者用於時域平滑，後者用於頻域濾波，切比雪夫的滾降較快，但是有ripple。
IIR極點一般的理解是：極點越多濾波器的性能越好。
通過IIR的遞歸方程進行Z變換，可以求出其頻域特性。
當M>0時，M就是IIR濾波器的階數，表示系統中反饋環的個數。由於反饋的存在，IIR濾波器的脈衝響應爲無限長，因此得名。若M=0，則系統的脈衝響應的長度爲N+1，故而被稱作FIR濾波器。
可以直接利用模擬濾波器設計IIR濾波器，因爲模擬濾波器本身就是無限長衝激響應的。
通常IIR濾波器設計的過程如下：
首先根據濾波器參數要求設計對應的模擬濾波器（如巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器等等），
然後通過映射（如脈衝響應不變法、雙線性映射等等）將模擬濾波器變換爲數字濾波器，從而決定IIR濾波器的參數。
IIR濾波器的重大缺點在於，由於存在反饋其穩定性不能得到保證，而FIR濾波器由於不存在系統極點，FIR 濾波器是絕對穩定的系統。
IIR無限長脈衝響應濾波器，結構中有反饋，所以理論上脈衝響應永遠不爲零。實現相同的指標比fir濾波器需要的階數較少。非線性相位，用於對相位不太敏感的場合，如語音。
設計時先設計模擬濾波器原型，再由一定的原則轉換爲數字濾波器。可參看程乾生編著 “信號數字處理的數學原理” 石油工業出版社
1．IIR數字濾波器的系統函數可以寫成封閉函數的形式。
2．IIR數字濾波器採用遞歸型結構，即結構上帶有反饋環路。IIR濾波器運算結構通常由延時、乘以係數和相加等基本運算組成，可以組合成直接型、正準型、級聯型、並聯型四種結構形式，
都具有反饋迴路。由於運算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時會產生微弱的寄生振盪。
3．IIR數字濾波器在設計上可以藉助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等，有現成的設計數據或圖表可查，其設計工作量比較小，對計算工具的要求不高。
在設計一個IIR數字濾波器時，我們根據指標先寫出模擬濾波器的公式，然後通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉換成數字濾波器的公式。
4．IIR數字濾波器的相位特性不好控制，對相位要求較高時，需加相位校準網絡。
在MATLAB下設計IIR濾波器可:
使用Butterworth函數設計出巴特沃斯濾波器，
使用Cheby1函數設計出契比雪夫I型濾波器，
使用Cheby2設計出契比雪夫II型濾波器，
使用ellipord函數設計出橢圓濾波器。
與FIR濾波器的設計不同，IIR濾波器設計時的階數不是由設計者指定，而是根據設計者輸入的各個濾波器參數（截止頻率、通帶濾紋、阻帶衰減等），
由軟件設計出滿足這些參數的最低濾波器階數。在MATLAB下設計不同類型IIR濾波器均有與之對應的函數用於階數的選擇。
iir幅頻特性精度很高，不是線性相位的，可以應用於對相位信息不敏感的音頻信號上；
fir幅頻特性精度較之於iir低，但是線性相位，就是不同頻率分量的信號經過fir濾波器後他們的時間差不變。這是很好的性質。
另外有限的單位響應也有利於對數字信號的處理，便於編程，用於計算的時延也小，這對實時的信號處理很重要。
在多帶濾波的時候，如果採用IIR將會導致各頻帶輸出不同步的問題，在諸如特徵提取這樣的應用中將會很麻煩
IIR比FIR具有更好的模型匹配與信號處理能力。但是，如果極點不能控制在單位圓內，將會使系統不穩定。
IIR濾波器最重要的優點在於與相同係數個數的FIR濾波器相比有更好的性能，要達到相同性能，IIR濾波器所需係數個數一般比FIR濾波器少得多。
而FIR很容易保證穩定和線性相位，這在有特殊要求的信號處理中是非常重要的，比如實現完全線性相位重構濾波器。