第三章命題邏輯的推理理論
1.推理的形式結構
（1）定義3.1：設A1，A2，A3...Ak和B都是命題公式，若對於A1，A2，A3...Ak和B中出現的命題變項的任意一組賦值，或者A1，A2，A3...Ak爲假，或者當A1，A2，A3...Ak爲真是，B也爲真，則稱由前提A1，A2，A3...Ak推出結論B的推理是有效的或正確的，並稱B是有效的結論。
由上面的推論可知，推理正確的並不能保證結論B一定成立，因爲前提可能就不成立。這與我們通常理解的推理是不同的。通常只能認爲在正確的前提下推出正確的結論纔是正確的推理，而在這裏，如果前提不正確，不論結論正確與否，都說推理正確。
（2）定理3.1：命題公式A1，A2......Ak推導B的推理正確當且僅當 A1，A2......Ak--->B爲重言式。
要把推理的形式寫成：
前提：A1，A2......Ak
結論：B
2自然推理系統P
本節由前提A1，A2......，Ak推B的正確推理的證明給出嚴格的形式描述。“證明”是一個描述推理過程的命題公式序列，其中的每個公式或者是已知前提，或者是由前面的公式應用推理規則得到的結論（中間結論或推理中的結論）
（1）定義3.2：一個形式系統I由下面4個部分組成：
- 非空的字母表A（I）;
- A（I）中符號構造的合式公式集E（I）
- E（I）中一些特殊的公式組成的公理集Ax（I）
- 推理規則R（I）
將I記爲四元組<A（I）,E（I）,Ax（I）,R（I）>.其中<A（I）,E（I）>是I的形式語言系統，而<Ax（I），R（I）>爲I的形式演算系統。
形式系統一般分爲兩類：一類是自然推理系統，它的特點是從任意給定的前提出發，應用系統中的推理規則進行推理演算，最後得到的命題公式是推理的結論（它是有效的結論，爾肯那個是重言式，也可能不是重言式）。另一類是公理推理系統，他只能從若干條給定的公里出發，應用系統中的推理規則進行推理演算，得到的結論是系統中的重言式，成爲系統中的定理。本書只介紹自然推理系統P，定義中無公理部分，因而只有3個部分。
（2）定義3.3：自然推理系統P的定義如下：
- 字母表：前面介紹的那些字母表，包括命題變項符號，pqr；聯結詞符號，與或非蘊含等；口號和逗號
- 合式公式
- 推理規則：
- 前提引入規則--在證明的任何步驟都可以引入前提
- 結論引入規則--在證明的任何步驟所得的結論都可以作爲後繼證明的前提
- 置換規則：在證明的任何步驟，命題公式中的自公式都可以用等值的公式置換，得到公式序列中又一個公式、
- 隱身的推導結論和定律
