之所以想到要註釋一下,沒別的意思,只是因爲幾個月前剛學DP,完全看不懂,前幾天費了幾個小時終於看懂了,註釋下來,能使自己整理一下思路,也作爲自己的一篇日記。
當時我能看懂時間和空間均爲O(MN^2)的函數,但可能由於自己看書是直接從動態規劃一章看起,書上對於經過優化的函數也沒有更多的解析,當時看起來完全不知所云。前幾天看的時候,是對着方程結合書上的幾句話自己去理解,嘗試自己動手去寫,但錯了。看書上代碼,都要自己去理解那些變量數組是幹什麼用的,感覺也是非常吃力。
1,
我覺得理解那個優化函數,必須先要充分理解那個二維的DP方程:
b[i][j]=max(b[i][j-1]+a[j],max(b[i-1][t])+a[j]) (i-1<=t<j)
b[i][j]表示的是第i段在前j項(含第j項)的最大值。對於b[i][j]含有第j項必須要理解好!則方程的意思是:對於a[j]項,要麼將它加到第i段,要麼它自己作爲新的一段。
注意到方程外層的max選擇,都要加上a[j]這一項。這裏可能很容易產生一個疑問,如果a[j]是一個負數,爲什麼還要加上a[j]呢?回到b[i][j]所表示的意義上解釋,由於b[i][j]表示的是含有第j項的最大值,所以a[j]是肯定要加進來的。假使a[j]是一個負數,它加進來了也不會影響在第i段中前j-1項的最大值。
所以第m段的最大值,並不是b[m][n],而是b[m][m~n]之間的最大值。
同樣道理,第i-1段的最大值是b[i-1][t],(i-i<=t<j)。
2,
理解了上述的DP方程後,再來考慮優化,正如書上所說的,由於在第i段中,只用到第i段和第i-1段的值。如果採用一維數組存儲b[],只要在計算第i段的時候,沒有去改變第i-1段保留下來的值即可。再考慮到,內層max選擇,需要用到第i-1段在i-1到j-1位置的最大值,不但要進行重複計算,也影響到b[j]的計算,因爲j前面的值既要用作b[j]的計算,也要更新作爲下一段i+1計算時所用。
爲了解決這個問題,書上是利用了一個輔助的一維數組c[],c[j]保存的是上一段i-1在j位置的最大值。顯然計算第i段在j位置的值b[j]要用到的c[]的下標是從i-1到j-1的。
那麼這時DP方程可以變爲:
b[j]=max(b[j-1]+a[j],c[j-1]+a[j])
要注意,b[j-1]與c[j-1]是相差一段的,即b[j-1]計算的是第i段的值,而c[j-1]記錄的是i-1段的值。
這裏有一個關鍵是對c[]在計算第i段值b[j]的時候,要及時更新,以作計算下一段使用。
3,
以上的具體實現自己寫不出來,還是照看書上的代碼,略作解析。其實明白了上面說明的兩段,書上代碼是很好理解的。書上對於邊界條件的處理,我覺得做得非常好,而我也正是錯在這個地方。
{
if(n<m||m<1) return 0;
int *b=new int[n+1]; //b[j]保存的是第i段中在前j(含j)項的最大值
int *c=new int[n+1]; //c[j]保存的是i-1段中在i-1到j(含j)項中的最大值
//注意,以上b[j]和c[j]都是指在計算第i段時的值;
b[0]=0;
c[1]=0; //第0段時的兩個值,初始化邊界條件
for(int i=1;i<=m;i++) //i爲當前計算段數
{
b[i]=b[i-1]+a[i]; //b[i]即b[j]在j=i時的值,由於j=i,每一個項都要成爲一段,這就是邊界條件
c[i-1]=b[i]; //這裏很繞,其實這句是沒用的,因爲在第i段中數組c[]保存的值是爲下一
//段i+1服務的,i+1段只用到c[i],可以直接刪掉,免得誤導
int max=b[i]; //max記錄第i段的從i位置開始所有能用到的項的最大值
for(int j=i+1;j<=i+n-m;j++)
{
b[j]=b[j-1]>c[j-1]?b[j-1]+a[j]:c[j-1]+a[j];//這裏用到的c[j-1]
//是沒被修改的,還是上一段i-1中在j-1位置的最大值
c[j-1]=max; //用完後就要修改爲第i段中在j-1位置的最大值,明顯,max是記錄了第i段中的
if(max<b[j]) //在j-1位置的最大值,儘管當前循環中計算的是第j項
max=b[j]; //更新max的值
}
c[i+n-m]=max; //由於max記錄的項總比循環的j項小1,所以第i段在最後一項中的最大值放在循環外更新
}
int sum=0; //默認全是負數的時候,最大值是0,如果要計算負的最大值,可以將sum設爲一個大負數
for(int j=m;j<=n;j++) //爲什麼還有一次循環找最大值,而不是直接使用b[n]呢?因爲b[j]包含了a[j],
if(sum<b[j]) //在b[j]的值不一定比不包含a[j]的其他項大。
sum=b[j];
return sum;
}
附:pku 2479就是一題求最大2段和。