離散數學：聊聊生成函數的鬱悶

聊聊生成函數的鬱悶

最近拿着一本離散數學呆呆地發愣…生成函數四個大字搞得我無限自閉，那麼就來聊聊這天殺的生成函數到底是何方神聖。

生成函數是一種表現序列的有效方法，把序列的項作爲一個形式冪級數中變量x的冪的係數，由此可以解決許多類型的技術問題。

基本概念理解

定義： 實數序列a₀，a₁……，a_k，……的生成函數是無窮級數
G(x)=a₀+a₁x+……+a₆x^k+……
這叫做{a_k}的普通生成函數。

一些定理

當我們解決計數問題時，我們習慣於把它考慮爲形式冪級數，我們在討論的時候一般不涉及到收斂問題。
定理一 令f(x)=$\sum$ a_kx^k,g(x)=$\sum$ b_kx^k，那麼，可以知道：
f(x)+g(x)=$\sum$(a_k+b_k)x^k和f(x)g(x)=$\sum$($\sum$a_jb_k-j)x^k
定理一隻有當冪級數在一個區間收斂時纔有效，但是，生成函數並不侷限於這種級數。當級數不收斂時，我們可以看成是生成函數和與積的定義。
我們來看一個小小的例子來幫助我們理解：
例子： 我們可以知道1/(1-x) = 1+x+x²+x³+……，我們由定理一可以得出：1/(1-x)²=$\sum$($\sum$ 1)x^k=$\sum$ (k+1)x^k。

未完待續…