【簡單計數知識2】JZOJ6405. 【NOIP2019模擬11.04】c

Description

$n<=1e6,m<1e9+7$

Solution

• 剛開始看到矩陣求逆後發現連裸的矩陣求逆我都不會（其實我去年應該是學過的。。。），只會一發n⁶的暴力對n²個點進行高斯消元。
• 實際上，矩陣求逆有一種很好做的n³高斯消元。
• 對於矩陣$A$，將它變爲單元矩陣$I$，同時根據$A$的操作，同步地操作一個$I$，因爲矩陣的操作是互逆的，所以$I$在經過相同的操作後就變成了$A^-$
• 考慮對於這個Pascal矩陣做同樣的操作。
• 注意到這個矩陣已經是一個三角形了，並且對於同一列，它們的分母都是一樣的$j^m$，所以在消元的時候可以忽略這個。那麼只需要將這個矩陣消成一個對角線的1就好了。
• 然後因爲這個矩陣$P(i,j)=[i>=j]C_i^j$，這個其實是二項式反演的基本式子，它的逆矩陣就是二項式反演的容斥係數$P(i,j)=[i>=j](-1)^{i+j}C_i^j$.
• 然後再把$j^m$乘上去就好了。
• 最後計算每一列的平方和。即$\sum_{i=0}^n (C_n^i)^2$。
• 結論$\sum_{i=0}^n (C_n^i)^2=C_{2n}^n$。

小證明

• 簡單的理解成$C_n^i*C_n^{n-i}$即將2n個數分成兩半，前一半選i個，後一半選n-i個，因爲枚舉了i，所以相當於是2n裏面選n個。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxm 2000005
#define ll long long 
#define mo 1000000007
using namespace std;

int n,m,i,j,k;
ll fct[maxm],ift[maxm],ans;

ll ksm(ll x,ll y){
	ll s=1;
	for(;y;y/=2,x=x*x%mo) if (y&1)
		s=s*x%mo;
	return s;
}

ll C(int n,int m){return fct[n]*ift[m]%mo*ift[n-m]%mo;}

int main(){
	freopen("c.in","r",stdin);
	freopen("c.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	fct[0]=fct[1]=1;for(i=2;i<maxm;i++) fct[i]=fct[i-1]*i%mo;
	ift[maxm-1]=ksm(fct[maxm-1],mo-2);
	for(i=maxm-2;i>=0;i--) ift[i]=ift[i+1]*(i+1)%mo;
	for(i=1;i<=n;i++) ans+=ksm(i,2*m)*(C(2*i,i)-1)%mo;
	printf("%lld",ans%mo);
}