快速階乘算法（理論，暫時不會實踐）

Problem

模板題luogu5282

• 求 $n!\ mod\ p$，$p$是質數
• 由於是任意模數，所以需要MTT。

$\sqrt{n}log^2n$

• 一種暴力 的方法是多項式加分塊，設定一個塊的大小$B$，以及這樣一個多項式：
  $f(x)=\prod_{i=1}^B{(x+i)}$
• 那麼答案就是$f(0)*f(B)*f(2B)*...*f(n/B*B)*最後剩下不超過B的部分的乘積$
• 直接利用多項式多點求值可以搞到$\sqrt{n}log^2n$的複雜度。

$\sqrt{n}logn$

• 直接求係數實在是太慢了，我們可以考慮另一種多項式的優秀處理方法——點值。
• 設$f_d(x)=\prod_{i=1}^d(x+i)$，那麼我們最後就是要求所有的$f_B(iB)$
• 利用倍增的思路，如果我們可以做到從$f_d(0,B..dB)$到$f_{2d}(0,B..2dB)$的乘二的轉化，以及加一的轉化，那麼就可以倍增求出最後的$B$個點值了

乘二

• 對於$f_d(0,B...dB)$，首先需要變成$f_d(0,B...2dB)$.
• 然後再在對應位置上乘上$f_d(d,d+B...,d+2dB)$，就可以變成$f_{2d}(0,B...2dB)$
• 考慮第一步需要得到$f_d(dB...2dB)$，再綜合第二步，都相當於是從$f_d(iB)$變成$f_d(iB+x)$
• 系統化得來說，假設$h(i)=f_d(iB)$，那麼相當於我們已知$h(0..d)$，要求$h(0+x/B,1+x/B..d+x/B)$。
• 運用拉格朗日插值：
  $h(\Delta +n)=\sum_{i=0}^dh(i)\prod_{j\neq i}\frac{\Delta+n-j}{i-j}$
  $=\prod_{j=0}^d(\Delta+n-j)\sum_{i=0}^d\frac{h(i)*(-1)^{n-i}}{i!(n-i)!}*\frac{1}{\Delta+n-i}$
• 由於$d<=B$，所以不會出現$\Delta+n-j=i$的情況。後面可以直接FFT，前面的只需要用雙指針掃一遍即可。

加一

• 從$f_d(0,B..dB)$到$f_{d+1}(0,B..dB,(d+1)B)$直接暴力即可。

時間複雜度

• $T(n)=T(n/2)+n\ log \ n=T(n\ log \ n)$