五邊形數總結

前言

瘋狂盜圖

五邊形數

$f_n=1+4+7+...+3*(n-1)+1=\frac{3n^2-n}{2}$
定義 $p_n=\frac{i(3i\pm1)}{2}$ 爲廣義五邊形數

五邊形數定理

$\phi(x)=\prod_{i=1}^{+\infty}(1-x^i)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}(-1)^i*x^{\frac{i(3i-1)}{2}}=\sum_{i=0}^{+\infty}(-1)^i*x^{\frac{i(3i\pm1)}{2}}$
此時 $f(n)=$偶數個數的拆分方案數-奇數個數的拆分方案數，並且要求拆分的數是不同的
利用 $Ferrers$ 圖像進行探究


即大多數情況對於一個奇數拆分存在一個共軛偶數拆分
但是有一些例外情況：

還有

的拆分沒有共軛的兩組形式，那麼係數就爲 $(-1)^s$

可重整數拆分和五邊形數

定義 $P(x)=\prod_{i=1}^{+\infty}(1+x^i+x^{2i}+...)$
顯然有 $P(x)=\prod_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{1-x^i}$
結合之前的

$\phi(x)=\prod_{i=1}^{+\infty}(1-x^i)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}(-1)^i*x^{\frac{i(3i-1)}{2}}=\sum_{i=0}^{+\infty}(-1)^i*x^{\frac{i(3i\pm1)}{2}}$
也就是
$\phi(x)P(x)=1$

然後就能對比係數

時間複雜度爲 $O(n\sqrt n)$

兩個題目

題目一HDU4658

記 $F(x)=\prod_{i=1}^{+\infty}(1+x^i+x^{2i}+x^{(k-1)i})=\prod_{i=1}^{+\infty}\frac{1-x^k}{1-x}=\frac{\phi(x^k)}{\phi(x)}$
那麼 $\phi(x)F(x)=\phi(x^k)$
結合 $\phi(x)P(x)=1$
那麼 $F(x)=\phi(x^k)*P(x)$

預處理 $P$ 後再弄一次即可，時間複雜度 $O(n\sqrt n)$

題目二[NOOnline #1 入門組]魔法

基礎的
題目解析