凸包算法

二維凸包問題描述：
二維凸包的尋找是計算幾何學的經典問題之一。
給定平面上的一些點，找出一個最小點集連成一個凸多邊形，使得這若干
個點皆在此多邊形內或此多邊形上，這個凸多邊形就是給定點的二維凸包。
凸包的鼻祖算法——“三硬幣”算法（The Three-Coins Algorithm）。三硬幣算法由斯卡蘭斯奇（Sklansky）於 1972 年提出，我們可以用三個硬幣來模擬這個算法。

要想凸包問題，需要理解點的排序和左轉判定。

點的排序步驟：
1.找一個必在凸包上的點，這顯然很容易，通常取橫座標或縱座標最小的點，極爲P0。
2.連結 P0 與其他點，分別計算這些線段與“豎直向下方向”（也就是三四象限的分割線）的夾角，按照夾角由小到達的順序將各線段的另一端（一端是 P0）標號爲 P1、P2、P3……
排序完成

左轉判定：
這是經典的計算幾何學問題，判斷向量 p1=(x1,y1)到 p2=(x2,y2)是否做左
轉，只需要判斷 x1*y2-x2*y1 的正負，如果結果爲正，則從 p1 到 p2 做左轉。對於此結論的證明，有興趣的讀者請參考有關書籍。

現在就看看斯卡蘭斯奇三硬幣算法：
   1.預處理：將各點排序。
   2.在 P0、P1、P2 上分別放置一枚硬幣；
    把這三枚硬幣分別命名爲“後” 、 “中” 、 “前”。
   3.反覆
    如果三枚硬幣按“後－中－前”的順序“做左轉”
      拿起“後”，放在“前”的前面；
        將原先的“後”改名爲“前” ；
        將原先的“前”改名爲“中” ；
        將原先的“中”改名爲“後” ；
      否則
        拿起“中”，放在“後”的後面；
        移除剛纔“中”所在的點；
        將原先的“中”改名爲“後” ；
        將原先的“後”改名爲“中” ；
    直到“前”蓋在 P0 上，且三枚硬幣“做左轉”
4.按照編號大小順此連結剩下的點（編號最大的點連回 P0） ，
  得到的多邊形就是給定點集的凸包。
在紙上畫幾個點，用三枚硬幣模擬很容易模擬這個算法的執行過程，而且似乎求得的結果總是正確的，不過，請您不要試圖證明它的正確性，因爲，事實上它並非正確*_*。雖然這個算法並非正確，但其中仍有很多地方值得借鑑，後來的許多凸包。算法滲透着一些斯卡藍斯奇算法的內涵。因此，瞭解這個算法是很有好處的。 1978 年，Bykat 確定這個算法是錯誤的，因此有關此算法的反例，有興趣的讀者不妨參考一下 Bykat,  A.的《Convex  hull  of  a  finite  set  of  points  in  two dimensions》第 296-298 頁。

OpenCV中創建凸包的函數傳說中使用的是Sklansky 的算法，不過其正確性有待考察。。。以下是例子：




#include "cv.h"
#include "highgui.h"
#include <stdlib.h>

#define ARRAY  1 /* switch between array/sequence method by replacing 0<=>1 */

int main( int argc, char** argv )
{
    IplImage* img = cvCreateImage( cvSize( 500, 500 ), 8, 3 );
    cvNamedWindow( "hull", 1 );

#if !ARRAY
        CvMemStorage* storage = cvCreateMemStorage();
#endif

    for(;;)
    {
        int i,count = rand()%100+1,hullcount;
        CvPoint pt0;
#if !ARRAY
        CvSeq *ptseq = cvCreateSeq(CV_SEQ_KIND_GENERIC|CV_32SC2,
            sizeof(CvContour),sizeof(CvPoint),storage);
        CvSeq *hull;
        //隨機得到點
        for (i=0;i<count;i++)
        {
            pt0.x = rand()%(img->width/2) + img->height/4;
            pt0.y = rand()%(img->height/2) + img->width/4;
            cvSeqPush(ptseq,&pt0);
        }
        hull = cvConvexHull2(ptseq,0,CV_CLOCKWISE,0);//順時針
        hullcount = hull->total;
#else
        CvPoint *points = (CvPoint *)malloc(count * sizeof(points[0]));
        int *hull = (int *)malloc(count*sizeof(hull[0]));
        CvMat point_mat = cvMat(1,count,CV_32SC2,points);
        CvMat hull_mat = cvMat(1,count,CV_32SC1,hull);
        //隨機得到點
        for (i=0;i<count;i++)
        {
            pt0.x = rand()%(img->width/2) + img->height/4;
            pt0.y = rand()%(img->height/2) + img->width/4;
            points[i]=pt0;
        }
        cvConvexHull2(&point_mat,&hull_mat,CV_CLOCKWISE,0);
        hullcount = hull_mat.cols;//注意這些與序列處理方式不同的地方
#endif
        cvZero(img);//清空img，準備畫新圖

        //畫點
        for (i=0;i<count;i++)
        {
#if !ARRAY
            pt0 = *CV_GET_SEQ_ELEM(CvPoint , ptseq ,i);
#else
            pt0 = points[i];
#endif
            cvCircle(img,pt0,2,CV_RGB(255,0,0),CV_FILLED);
        }

//確定一個端點
#if !ARRAY
        pt0 = **CV_GET_SEQ_ELEM(CvPoint*,hull,hullcount -1);
#else
        pt0 = points[hull[hullcount-1]];
#endif

        for (i=0;i<hullcount;i++)
        {
#if !ARRAY
            CvPoint pt = **CV_GET_SEQ_ELEM(CvPoint*,hull,i);
#else
            CvPoint pt = points[hull[i]];
#endif
            cvLine(img,pt0,pt,CV_RGB(0,255,0));
            pt0 = pt;
        }
        cvShowImage("hull",img);
        cvWaitKey(0);
        cvSaveImage("hull.jpg",img);
        cvDestroyWindow("hull");
#if !ARRAY
        cvClearMemStorage(storage);
#else
        free(points);
        free(hull);
#endif
    }
    return 0;
}