排序算法系列：Shell 排序算法

概述

希爾排序（Shell Sort）是 D.L.Shell 於 1959 年提出來的一種排序算法，在這之前排序算法的時間複雜度基本都是 O($n^{2}$) 的，希爾排序算法是突破這個時間複雜度的第一批算法之一。希爾排序是一種插入排序算法。

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本文作者：Q-WHai
發表日期： 2016年4月12日
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更多內容：分類 >> 算法與數學

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目錄

算法簡介

希爾排序（Shell Sort）是 D.L.Shell 於 1959 年提出來的一種排序算法，在這之前排序算法的時間複雜度基本都是 O($n^{2}$) 的，希爾排序算法是突破這個時間複雜度的第一批算法之一。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　– 《大話數據結構》

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算法原理分析

在上一篇《排序算法系列：插入排序算法》一文中，我們說到了一種複雜度爲 O($n^{2}$) 的排序算法。而對於插入排序而言，如果我們的排序序列基本有序，或是數據量比較小，那麼它的排序性能還是不錯的。爲什麼？可能你會這樣問。數據量小，這個不用多說，對於多數排序算法這一點都適用；如果一個序列已經基本有序（序列中小數普遍位於大數的前面），那麼我們在插入排序的時候，就可以在較少的比較操作之後使整體有序。如果，這一點你還不是很明白，可以先看看《排序算法系列：插入排序算法》一文中的解釋。
基於上面基本有序和小數據量的提示，這裏就有了希爾排序的實現。希爾所做的就是分組，在每個分組中進行插入排序。如下就是希爾排序中分組的示意圖：

在上圖中，我們將一個長度爲 10 的序列，分組成 3 組。除最後一組以外的分組都包含了 4 個元素。可是，我們排序的時候並不是在這些分組內部進行的。而是我們要按照上面圓形的標號來進行插入排序，也就是排序中的 [4, 9, 7]。你可以先想一想這是爲什麼，在文章的最後，我再說明這個問題。

上面從詳細地說明了希爾排序的由來及希爾排序的分組精髓。那麼現在就要說希爾排序中的插入排序，是的沒有錯。畢竟希爾排序的核心就是分組+插入排序嘛。在這個示意圖中，我們可以很明顯地看出它想表達的東西。這裏只是將[3, 9, 7]看成了一個整體，對於其它的元素，暫時與[3, 9, 7]無關。

通過上面的兩步操作，我們可以得到一個序列 T1 = [4, 0, 6, 1, 7, 2, 8, 5, 9, 3]。咦，這個序列還是無序的呀，怎麼回事？我們說希爾排序的核心是分組和獲得一個基本有序的數組。這裏說的是基本有序，並未做出承諾說這個序列已經有序。那麼，現在要做的就是繼續分組+插入排序。當然，對應的 step 是要進行修改的。詳細過程，參見下面的算法步驟。

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算法步驟

通過上面的算法原理分析，這裏可以總結出算法實現的步驟。如下：

1. 獲得一個無序的序列 T0 = [4, 3, 6, 5, 9, 0, 8, 1, 7, 2]，並計算出當前序列狀態下的步長 step = length / 3 + 1；
2. 對序列 T0 按照步長週期分組；
3. 對每個子序列進行插入排序操作；
4. 判斷此時的步長 step 是否大於 1？如果比 1 小或是等於 1，停止分組和對子序列的插入排序，否則，就繼續；
5. 修改此時的步長 step = step / 3 + 1，並繼續第 2 到第 4 步；
6. 排序算法結束，序列已是一個整體有序的序列。

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邏輯實現

這是Shell 排序的核心模塊，也是分組的關鍵步驟

private void core(int[] array) {
        int arrayLength = array.length;
        int step = arrayLength;
        do {
            step = step / 3 + 1;
            for (int i = 0; i < step; i++) {
                insert(array, i, step);
            }
            System.err.println(Arrays.toString(array));
        } while (step > 1);
    }

希爾排序的直接插入排序，注意這裏不同的是它只是針對某一個分組子序列進行插入排序

private void insert(int[] array, int offset, int step) {
        int arrayLength = array.length;
        int groupCount = arrayLength / step + (arrayLength % step > offset ? 1 : 0);
        for (int i = 1; i < groupCount; i++) {
            int nextIndex = offset + step * i;
            int waitInsert = array[nextIndex];
            
            while(nextIndex - step >= 0 && waitInsert < array[nextIndex - step]) {
                array[nextIndex] = array[nextIndex - step];
                nextIndex -= step;
            }
            
            array[nextIndex] = waitInsert;
        }
    }

更多詳細邏輯實現，請參見文章結尾的源碼鏈接。

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複雜度分析

排序方法	時間複雜度			空間複雜度	穩定性	複雜性
	平均情況	最壞情況	最好情況
Shell 排序	O($n^{3/2}$)	O($n^{2}$)	O(n)	O(n)	不穩定	較複雜

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問題解答

1. 爲什麼我們排序的時候並不是在這些分組內部進行的？
   答：這裏我們分組的目的在於要完成的是對整個序列的基本序列處理，那麼我們肯定想要讓這些分組的數據儘量地分散開。如果要針對每個分組內部進行插入排序，那麼之後的每次操作，都會是在內部進行的，這樣的結果就是每個分組內部已經有序，只是整體仍然是無序的。
2. 分組步長的計算公式爲什麼是 step = step / 3 + 1？
   答：這裏的步長計算很關鍵，可是究竟應該選取什麼樣的增量纔是最好的，目前還尚未解決。不過大量的研究表明，當增量序列爲 dlta[k] = ${2^{t-k+1}}$ - 1 (0 <= k <= t <= [$log_{2}$(n+1)])時，可以獲得不錯的效果，其時間複雜度爲 O($n^{3/2}$)。

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Ref

• 《大話數據結構》

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Github源碼下載

• https://github.com/qwhai/algorithms-sort

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