在前幾回我們已經對冒泡排序、直接插入排序、希爾排序、選擇排序、快速排序、歸併排序、堆排序、計數排序、桶排序做了說明分析。本回，將對基數排序進行相關說明分析。
一、排序算法系列目錄說明
- 冒泡排序（Bubble Sort）
- 插入排序（Insertion Sort）
- 希爾排序（Shell Sort）
- 選擇排序（Selection Sort）
- 快速排序（Quick Sort）
- 歸併排序（Merge Sort）
- 堆排序（Heap Sort）
- 計數排序（Counting Sort）
- 桶排序（Bucket Sort）
- 基數排序（Radix Sort）
二、基數排序（RadixSort）
基數排序（Radix sort）是一種非比較型整數排序算法。
1. 基本思想
原理是將整數按位數切割成不同的數字，然後按每個位數分別比較。基數排序的方式可以採用LSD（Least significant digital）或MSD（Most significant digital），LSD的排序方式由鍵值的最右邊開始，而MSD則相反，由鍵值的最左邊開始。
- MSD：先從高位開始進行排序，在每個關鍵字上，可採用計數排序
- LSD：先從低位開始進行排序，在每個關鍵字上，可採用桶排序
2. 實現邏輯
- 將所有待比較數值（正整數）統一爲同樣的數位長度，數位較短的數前面補零。
- 從最低位開始，依次進行一次排序。
- 這樣從最低位排序一直到最高位排序完成以後, 數列就變成一個有序序列。
3. 動圖演示
分步圖示說明：設有數組 array = {53, 3, 542, 748, 14, 214, 154, 63, 616}，對其進行基數排序：
在上圖中，首先將所有待比較數字統一爲統一位數長度，接着從最低位開始，依次進行排序。
- 按照個位數進行排序。
- 按照十位數進行排序。
- 按照百位數進行排序。
排序後，數列就變成了一個有序序列。
4. 複雜度分析
- 時間複雜度：O(k*N)
- 空間複雜度：O(k + N)
- 穩定性：穩定
設待排序的數組R[1..n]，數組中最大的數是d位數，基數爲r（如基數爲10，即10進制，最大有10種可能，即最多需要10個桶來映射數組元素）。
處理一位數，需要將數組元素映射到r個桶中，映射完成後還需要收集，相當於遍歷數組一遍，最多元素數爲n，則時間複雜度爲O(n+r)。所以，總的時間複雜度爲O(d*(n+r))。
基數排序過程中，用到一個計數器數組，長度爲r，還用到一個r*n的二位數組來做爲桶，所以空間複雜度爲O(r*n)。
基數排序基於分別排序，分別收集，所以是穩定的。
5. 代碼實現（C++版）
int maxbit(int data[], int n) //輔助函數，求數據的最大位數
{
int maxData = data[0]; ///< 最大數
/// 先求出最大數，再求其位數，這樣有原先依次每個數判斷其位數，稍微優化點。
for (int i = 1; i < n; ++i)
{
if (maxData < data[i])
maxData = data[i];
}
int d = 1;
int p = 10;
while (maxData >= p)
{
//p *= 10; // Maybe overflow
maxData /= 10;
++d;
}
return d;
/* int d = 1; //保存最大的位數
int p = 10;
for(int i = 0; i < n; ++i)
{
while(data[i] >= p)
{
p *= 10;
++d;
}
}
return d;*/
}
void radixsort(int data[], int n) //基數排序
{
int d = maxbit(data, n);
int *tmp = new int[n];
int *count = new int[10]; //計數器
int i, j, k;
int radix = 1;
for(i = 1; i <= d; i++) //進行d次排序
{
for(j = 0; j < 10; j++)
count[j] = 0; //每次分配前清空計數器
for(j = 0; j < n; j++)
{
k = (data[j] / radix) % 10; //統計每個桶中的記錄數
count[k]++;
}
for(j = 1; j < 10; j++)
count[j] = count[j - 1] + count[j]; //將tmp中的位置依次分配給每個桶
for(j = n - 1; j >= 0; j--) //將所有桶中記錄依次收集到tmp中
{
k = (data[j] / radix) % 10;
tmp[count[k] - 1] = data[j];
count[k]--;
}
for(j = 0; j < n; j++) //將臨時數組的內容複製到data中
data[j] = tmp[j];
radix = radix * 10;
}
delete []tmp;
delete []count;
}三、總結
基數排序與計數排序、桶排序這三種排序算法都利用了桶的概念，但對桶的使用方法上有明顯差異：
- 基數排序：根據鍵值的每位數字來分配桶；
- 計數排序：每個桶只存儲單一鍵值；
- 桶排序：每個桶存儲一定範圍的數值；
基數排序不是直接根據元素整體的大小進行元素比較，而是將原始列表元素分成多個部分，對每一部分按一定的規則進行排序，進而形成最終的有序列表。