一、CRC簡介
先在此說明下什麼是CRC：循環冗餘碼校驗 英文名稱爲Cyclical Redundancy Check，簡稱CRC，它是利用除法及餘數的原理來作錯誤偵測（Error Detecting）的。實際應用時，發送裝置計算出CRC值並隨數據一同發送給接收裝置，接收裝置對收到的數據重新計算CRC並與收到的CRC相比較，若兩個CRC值不同，則說明數據通訊出現錯誤
那麼其實CRC有比較多種，比如CRC16、CRC32 ，爲什麼叫16、32呢。在這裏並非與位有和關係。而是由所確定的多項式最高次冪確定的。如下所示。理論上講冪次越高校驗效果越好。
CRC(12位) =X12+X11+X3+X2+X+1
CRC(16位) = X16+X15+X2+1
CRC(CCITT) = X16+X12 +X5+1
CRC(32位) = X32+X26+X23+X16+X12+X11+X10+ X8+X7+X5+X4+X2+X+1
二、循環冗餘校驗碼（CRC）的基本原理：
在K位信息碼後再拼接R位的校驗碼，整個編碼長度爲N位，因此，這種編碼又叫（N，K）碼。對於一個給定的（N，K）碼，可以證明存在一個最高次冪爲N-K=R的多項式G(x)。根據G(x)可以生成K位信息的校驗碼，而G(x)叫做這個CRC碼的生成多項式。
校驗碼的具體生成過程爲：假設發送信息用信息多項式C(X)表示，將C(x)左移R位，則可表示成C(x)*2R，這樣C(x)的右邊就會空出R位，這就是校驗碼的位置。通過C(x)*2R除以生成多項式G(x)得到的餘數就是校驗碼。
原理思維導圖總結：
三、通信與網絡中常用的CRC
在數據通信與網絡中，通常k相當大，由一千甚至數千數據位構成一幀，而後採用CRC碼產生r位的校驗位。它只能檢測出錯誤，而不能糾正錯誤。一般取r=16，標準的16位生成多項式有CRC-16＝x16+x15+x2+1 和 CRC-CCITT＝x16+x15+x2+1。
一般情況下，r位生成多項式產生的CRC碼可檢測出所有的雙錯、奇數位錯和突發長度小於等於r的突發錯以及（1-2-(r-1)）的突發長度爲r+1的突發錯和（1-2-r）的突發長度大於r+1的突發錯。例如，對上述r=16的情況，就能檢測出所有突發長度小於等於16的突發錯以及99．997%的突發長度爲17的突發錯和99．998%的突發長度大於17的突發錯。所以CRC碼的檢錯能力還是很強的。這裏，突發錯誤是指幾乎是連續發生的一串錯，突發長度就是指從出錯的第一位到出錯的最後一位的長度(但是，中間並不一定每一位都錯)。
【例1】某循環冗餘碼（CRC）的生成多項式 G(x)＝x3+x2+1，用此生成多項式產生的冗餘位，加在信息位後形成 CRC 碼。若發送信息位 1111 和 1100 則它的 CRC 碼分別爲＿A＿和＿B＿。由於某種原因，使接收端收到了按某種規律可判斷爲出錯的 CRC 碼，例如碼字＿C＿、＿D＿、和＿E＿。（1998年試題11）
供選擇的答案：
A：① lllll00 ② 1111101 ③ 1111110 ④ 1111111
B：① 1100100 ② 1100101 ③ 1100110 ④ 1100111
C～E：① 0000000 ② 0001100 ③ 0010111 ⑤ 1000110 ⑥ 1001111 ⑦ 1010001 ⑧ 1011000
解：
A：G(x)＝1101，C(x)＝1111 C(x)*23÷G(x)＝1111000÷1101＝1011餘111
得到的CRC碼爲1111111
B：G(x)＝1101，C(x)＝1100 C(x)*23÷G(x)＝1100000÷1101＝1001餘101
得到的CRC碼爲1100101
C～E：
分別用G(x)＝1101對①～⑧ 作模2除: ① 0000000÷1101 餘000 ② 1111101÷1101 餘001
③ 0010111÷1101 餘000 ④ 0011010÷1101 餘000 ⑤ 1000110÷1101 餘000
⑥ 1001111÷1101 餘100 ⑦ 1010001÷1101 餘000 ⑧ 1011000÷1101 餘100
所以＿C＿、＿D＿和＿E＿的答案是②、⑥、⑧
【例2】計算機中常用的一種檢錯碼是CRC，即 _A_ 碼。在進行編碼過程中要使用 _B_ 運算。假設使用的生成多項式是 G(X)=X4+X3+X+1， 原始報文爲11001010101，則編碼後的報文爲 _C_ 。CRC碼 _D_ 的說法是正確的。
在無線電通信中常採用它規定碼字長爲7位．並且其中總有且僅有3個“1”。這種碼的編碼效率爲_E_。
供選擇的答案：
A：① 水平垂直奇偶校驗 ② 循環求和 ③ 循環冗餘 ④正比率
B：① 模2除法 ②定點二進制除法 ③二－十進制除法 ④循環移位法
C：① 1100101010111 ② 110010101010011 ③ 110010101011100 ④ 110010101010101
D：① 可糾正一位差錯 ②可檢測所有偶數位錯
③ 可檢測所有小於校驗位長度的突發錯 ④可檢測所有小於、等於校驗位長度的突發錯
E：① 3/7 ② 4/7 ③ log23/log27 ④ (log235)/7
解：從前面有關CRC的論述中可得出： A：③ 循環冗餘 B：① 模2除法
C：G(x)＝11011，C(x)＝11001010101，C(x)*24÷G(x)＝110010101010000÷11011 餘0011
得到的CRC碼爲② 110010101010011
D：從前面有關通信與網絡中常用的CRC的論述中可得出：④ 可檢測所有小於、等於校驗位長度的突發錯
E：定比碼又叫定重碼，是奇偶校驗的推廣。在定比碼中，奇數或偶數的性質保持不變，然而附加一種限制，每個字中1的總數是固定的。隨用途之不同，定比碼要求的附加校驗位可能多於一個，但較之單一的奇偶校驗將增加更多的檢錯能力。
所謂7中取3定比碼，就是整個碼字長度爲7位，其中1的位數固定爲3。所有128個7位代碼（0000000～1111111）中只有1的位數固定爲3的纔是其合法碼字。可以用求組合的公式求出其合法碼字數爲：C73＝7!/(3!*(7-3)!)＝7*6*5/(1*2*3)＝35
編碼效率＝合法碼字所需位數/碼字總位數＝(log235)/7
而對於CRC的實現有兩種方式，分別爲多項式和查表法。