Sudoku Solver

一. Sudoku Solver

Write a program to solve a Sudoku puzzle by filling the empty cells.

Empty cells are indicated by the character ‘.’.

You may assume that there will be only one unique solution.

A sudoku puzzle…

…and its solution numbers marked in red.

Difficulty:Hard

TIME：35MIN

解法

這道題似乎除了搜索之外，沒有特別好的解法，因此我直接寫了一個最普通的搜索（沒有任何優化），期待着會超時，然而並沒有。

搜索的思想當然很簡單，就是依次從左到右遍歷，發現一個可以填的空位，就選擇所有可以填的數字依次填入，當全部填好數字之後，就返回true，否則返回false。

bool dfs(vector<vector<char>>& board) {
    vector<char> v(10, 0);
    for (int i = 0; i < 9; i++) {
        for (int j = 0; j < 9; j++) {
            if (board[i][j] == '.') {
                for (int k = 0; k < 9; k++) {
                    if (board[i][k] != '.')
                        v[board[i][k] - '0'] = 1;
                    if (board[k][j] != '.')
                        v[board[k][j] - '0'] = 1;
                    if (board[i / 3 * 3 + k / 3][j / 3 * 3 + k % 3] != '.')
                        v[board[i / 3 * 3 + k / 3][j / 3 * 3 + k % 3] - '0'] = 1;
                }
                for (int k = 1; k <= 9; k++) {
                    if (v[k] == 0) {
                        board[i][j] = k + '0';
                        if (dfs(board)) //如果數獨已經解決，就直接返回
                            return true;
                        board[i][j] = '.';
                    }
                }
                return false;
            }
        }
    }
    return true; //程序運行到這裏說明這個數獨已經解決了
}
void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {
    dfs(board);
}

代碼的時間複雜度爲O(9n) ，其中n爲不確定的位置個數。

優化

雖然這樣的解法能過LeetCode，但顯然並不是一個特別好的解法，如果是我們自己去解決數獨，當然不會從左到右依次遍歷，找到空位就填。一般情況下我們都是去找能的填的數字比較少的空位來填，比如某個空位只能填一個數字，那麼我們就會優先填那個空位。

因此，這道題最大的可以優化的地方就是，儘量降低搜索樹前面結點分叉的數目（把分叉多的放到靠近葉結點的位置，把分叉少的放到靠近根結點的位置）。通過這樣的處理，雖然時間複雜度是一樣的，但是在解決實際問題的時候速度快了不是一點半點（無形中就減了很多枝）。

而且，從最少可填數目的空位開始填還可以避免衝突的產生，比如有同一行的兩個空位，一個可以填3和4，一個只能填3，如果從前面的空位填3，那麼後面那一個空位就無論如何也填不了了。而且如果在程序中不對這種情況進行檢查的話，可能要等到搜索到很深的地方纔能知道這個衝突。但如果是從可填數目最少的空位開始填，就絕對不會產生這種衝突（除非這個數獨不可解）。