迴文樹（迴文自動機）學習小結

基本的功能

首先十分重要的一點是一個長度爲|S|的字符串最多隻有|S|個本質不同的迴文串
http://blog.csdn.net/u013368721/article/details/42100363
這篇配圖文章寫得很清晰

寫一寫裏面沒有的吧

首先回文串很多時候都是以其奇偶性來噁心人的，而回文樹通過構造兩個根（對應的是偶數長度的迴文串以及奇數長度的迴文串，並且把對應長度爲奇數的樹根的len設爲-1巧妙的避免了很多繁瑣的討論）
迴文樹中的每一個節點對應的都是一個迴文串，所以其節點數是O(|S|)級別的
假設我們現在正在插入第n個數，那麼last就是以字符串中第n-1個字符爲最右端的最長迴文串在樹中對應的位置

其他的一些變量爲了方便解釋，先把程序貼出來

int add(int c){
        cur=get_fail(last);
        if (next[cur][c]!=0){
            int now=newcode(len[cur]+2);
            fail[now]=next[get_fail(fail[cur])][c];
            next[cur][c]=now;
            num[now]=num[fail[now]]+1;
        }
        last=next[cur][c];
        cnt[last]++;
    }

getfail就表示不斷的跳fail知道發現某一個迴文串可以在兩端同時加上c變成現在的迴文串，返回的是這個迴文串在迴文樹中對應的位置
cur表示的是以第n-1位結尾的，並且兩邊可以同時加上一個c的字符串在迴文樹中對應的位置，now就表示以第n位結尾的最長字符串對應的在迴文樹裏面的位置，那麼顯然有len[now]=len[cur]+2，len表示這個節點所對應的迴文串的長度
再看接下來的幾句話
我們現在要找到fail[now]，那麼fail[now]是一個最右端和now相同的最長的迴文串，所以我們跳一下fail[cur]的fail鏈就可以了，注意就算最後的next指向一個空串我們還是要連fail邊，因爲這會影響到我們接下來的匹配
num表示的是這個迴文串的後綴迴文串的出現次數，由於fail指向的是最大的，所以是+1
接下來我們把last跳到當前節點結束對應的最大回文串對應的節點那裏，並且cnt[last]++表示這個節點對應的迴文串的數量變多了一個

貼代碼

const int MAXN = 100005 ;  
const int N = 26 ;  

struct Palindromic_Tree {  
    int next[MAXN][N] ;//next指針，next指針和字典樹類似，指向的串爲當前串兩端加上同一個字符構成  
    int fail[MAXN] ;//fail指針，失配後跳轉到fail指針指向的節點  
    int cnt[MAXN] ;  
    int num[MAXN] ;  
    int len[MAXN] ;//len[i]表示節點i表示的迴文串的長度  
    int S[MAXN] ;//存放添加的字符  
    int last ;//指向上一個字符所在的節點，方便下一次add  
    int n ;//字符數組指針  
    int p ;//節點指針  

    int newnode ( int l ) {//新建節點  
        for ( int i = 0 ; i < N ; ++ i ) next[p][i] = 0 ;  
        cnt[p] = 0 ;  
        num[p] = 0 ;  
        len[p] = l ;  
        return p ++ ;  
    }  

    void init () {//初始化  
        p = 0 ;  
        newnode (  0 ) ;  
        newnode ( -1 ) ;  
        last = 0 ;  
        n = 0 ;  
        S[n] = -1 ;//開頭放一個字符集中沒有的字符，減少特判  
        fail[0] = 1 ;  
    }  

    int get_fail ( int x ) {//和KMP一樣，失配後找一個儘量最長的  
        while ( S[n - len[x] - 1] != S[n] ) x = fail[x] ;  
        return x ;  
    }  

    void add ( int c ) {  
        c -= 'a' ;  
        S[++ n] = c ;  
        int cur = get_fail ( last ) ;//通過上一個迴文串找這個迴文串的匹配位置  
        if ( !next[cur][c] ) {//如果這個迴文串沒有出現過，說明出現了一個新的本質不同的迴文串  
            int now = newnode ( len[cur] + 2 ) ;//新建節點  
            fail[now] = next[get_fail ( fail[cur] )][c] ;//和AC自動機一樣建立fail指針，以便失配後跳轉  
            next[cur][c] = now ;  
            num[now] = num[fail[now]] + 1 ;  
        }  
        last = next[cur][c] ;  
        cnt[last] ++ ;  
    }  

    void count () {  
        for ( int i = p - 1 ; i >= 0 ; -- i ) cnt[fail[i]] += cnt[i] ;  
        //父親累加兒子的cnt，因爲如果fail[v]=u，則u一定是v的子迴文串！  
    }  
} ;