編程之美--不要被階乘嚇倒

1、題目1：給定一個整數N，那麼N的階乘N！末尾有多少個0呢？

例如：N=10，N!=3628800，N！的末尾有兩個0。

直觀想法是：是不是要完整計算出N！的值，如果溢出怎麼辦？

其實，我們可以從“哪些數相乘能得到10”這個角度來考慮。

如果N！=K*10^M，且K不能被10整除，那麼N!末尾有M個0。在考慮對N!進行質因數分解，N!=（2^X）*（3^Y）*（5^Z）……由於10=2*5，所以M只跟X和Z有關，每一對2和5相乘可以得到一個10，於是M=min（X,Z）。

不難看出X大於等於Z，因爲能被2整除的數出現的頻率比能被5整除的數高得多，所以把公式簡化爲M=Z。

根據以上分析，只要計算出Z的值，就可以得到N！末尾0的個數。

ret = 0;
for(int i=0; i<=N; i++)
{
	j = i;
	while(j % 5 == 0)
	{
		ret++;
		j /= 5;
	}
}

或者

ret = 0;
while(N)
{
	ret += N / 5;
	N /= 5;
}

2、題目2：求N!的二進制表示中最低位1的位置。

例如，N=3，N!=6，那麼N!的二進制表示（1010）的最低位1在第二位。

把一個二進制數除以2，實際的過程如下：

判斷最後一個二進制位是否爲0，若爲0，則將此二進制數右移一位，即爲商值，反之，若爲1，則說明這個二進制數是奇數，無法被2整除。

所以此題等同於求N!含有質因數2的個數。即答案等於N!含有質因數2的個數加1。

int lowstOne(int N)
{
	int Ret = 0;
	while(N)
	{
		N >>= 1;
		Ret += N;
	}
	return Ret;
}