http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1084 整數拆分的題。
根據這幾天的做清華真題的情況，可以看出，清華超愛出數學類的題目，考察學生的數學基礎和找規律的能力。這道題，乍一看是要找個什麼公式或者規律來解決，其實僅僅用dp就可以解決，也就是說，要找出拆分種類的遞推規律。本題主要有兩條規律，即要分奇偶討論。
當要拆分的數爲奇數時，其拆分種類與上一個偶數相同，其實就是在上一個數的各拆分上+1，我一開始懷疑，如果原拆分中也含1,將兩個1換成一個2，會不會又是一種新的拆分，事實上不會，因爲偶數的拆分中1一定是成對出現的，如果新加的1與原來的一個1湊成一對，那麼把多出來的一個單1去掉，一定是上一個偶數的一個拆分。因此，一個奇數的拆分與它上一個偶數的拆分一定一樣多。這個規律比較明顯。
而當要拆分的數爲偶數時，規律就比較難找了。上一個奇數的各拆分加1肯定構成新的拆分，而上一個奇數的帶不成對1 的拆分，與新加的1湊成一對，也構成新的拆分，進而不斷向上湊，很難得出有多少拆分。於是，我們考慮另一種分類方法：將拆分分爲帶1的拆分和不帶1的拆分。不帶1的拆分，最小數爲2，故整個拆分可以被2整除，因此數n不帶1的拆分數應該和n/2的所有拆分相等。而帶1的拆分，其實和上一個奇數相同，因爲帶1的拆分至少有兩個1，去掉一個1後，即n-1的拆分。
找到了規律，用dp就很方便了，代碼如下：
#include <stdio.h>
#define MAX 1000002
#define MOD 1000000000
long long dp[MAX];
int main()
{
dp[0]=dp[1]=1;
for (int i=1;i<=500000;++i)
{
dp[2*i]=(dp[2*i-1]+dp[i])%MOD;
dp[2*i+1]=dp[2*i]%MOD;
}
int n;
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
{
printf("%lld\n", dp[n]);
}
return 0;
}