日曆在我們的生活中扮演着十分重要的角色，上班、上學、約會都離不開日曆。每年新年開始，人們都要更換新的日曆，你想知道未來一年的這麼多天是怎麼被確定下來的嗎？爲什麼去年的國慶節是星期五而今年的國慶節是星期三？那就來研究一下日曆算法吧。本文將介紹日曆的編排規則，確定某日是星期幾的計算方法，以及如何在計算機上打印某一年的年曆。
要研究日曆算法，首先要知道日曆的編排規則，也就是曆法。所謂曆法，指的就是推算年、月、日的時間長度和它們之間的關係，指定時間序列的法則。我國的官方曆法是中國公曆，也就是世界通用的格里曆（Gregorian Calendar），中國公曆的年分爲平常年和閏年，平常年一年是365天，閏年一年是366天。判定一年是平常年還是閏年的規則如下：
1、 如果年份是4的倍數，且不是100的倍數，則是閏年；
2、 如果年份是400的倍數，則是閏年；
3、 不滿足1、2條件的就是平常年。
總結成一句話就是：四年一閏，百年不閏，四百年再閏。
中國公曆關於月的規則是這樣的，一年分爲十二個月，其中一月、三月、五月、七月、八月、十月和十二月是大月，一個月有31天。四月、六月、九月和十一月是小月，一個月有30天。二月天數要根據是否是閏年來定，如果是閏年，二月是29天，如果是平常年，二月是28天。
除了年月日，人們日常生活中還對日期定義了另一個屬性，就是星期幾。星期並不是公曆範疇內的東西，但是人們已經習慣用星期來管理和規劃時間，比如一個星期工作五天，休息兩天等等，星期的規則徹底改變了人們的生活習慣，因此星期已經成爲曆法中的一部分了。星期的命名最早起源於古巴比倫文化。公元前7－6世紀，巴比倫人就使用了星期制，一個星期中的每一天都有一個天神掌管。這一規則後來傳到古羅馬，並逐漸演變成現在的星期制度。
如何知道某一天到底是星期幾？除了查日曆之外，是否有辦法推算出來某一天是星期幾呢？答案是肯定的，星期不象年和月那樣有固定的歷法規則，但是星期的計算也有自己的規律。星期是固定的7天週期，其排列順序固定，不隨閏年、平常年以及大小月的天數變化影響。因此，只要確切地知道某一天是星期幾，就可以推算出其它日期是星期幾。推算的方法很簡單，就是計算兩個日期之間相差多少天，用相差的天數對7取餘數，這個餘數就是兩個日期的星期數的差值。舉個例子，假設已經知道1977年3月27日是星期日，如何得知1978年3月27日是星期幾？按照前面的方法，計算出1977年3月27日到1978年3月27日之間相差365天，365除以7餘數是1，所以1978年3月27日就是星期一。
上述方法計算星期幾的關鍵是求出兩個日期之間相隔的天數。有兩種常用的方法計算兩個日期之間相隔的天數，一種是利用公曆的月和年的規則直接計算，另一種是利用儒略日計算。利用公曆規則直接計算兩個日期之間相差的天數，簡單地講就是將兩個日期之間相隔的天數分成三個部分：前一個日期所在年份還剩下的天數、兩個日期之間相隔的整數年所包含的天數和後一個日期所在的年過去的天數。如果兩個日期是相鄰兩個年份的日期，則第二部分整年的天數就是0。以1977年3月27日到2005年5月31日爲例，1977年還剩下的天數是279天，中間整數年是從1978年到2005年（不包括2005年），共26年，包括7個閏年和20個平常年，總計9862天，最後是2005年從1月1日到5月31日經過的天數151天。三者總結10292天。直接利用公曆規則計算日期相差天數的算法實現如下（爲了簡化算法複雜度，這個實現假設用於定位星期的那個日期總是在需要計算星期幾的那個日期之前）：
99 int CalculateDays(int ys, int ms, int ds, int ye, int me, int de) 100 { 101 int days = CalcYearRestDays(ys, ms, ds); 102 103 if(ys != ye) /*不是同一年的日期*/ 104 { 105 if((ye - ys) >= 2) /*間隔超過一年，要計算間隔的整年時間*/ 106 { 107 days += CalcYearsDays(ys + 1, ye); 108 } 109 days += CalcYearPassedDays(ye, me, de); 110 } 111 else 112 { 113 days = days - CalcYearRestDays(ye, me, de); 114 } 115 116 return days; 117 } 43 /*計算一年中過去的天數，包括指定的這一天*/ 44 int CalcYearPassedDays(int year, int month, int day) 45 { 46 int passedDays = 0; 47 48 int i; 49 for(i = 0; i < month - 1; i++) 50 { 51 passedDays += daysOfMonth[i]; 52 } 53 54 passedDays += day; 55 if((month > 2) && IsLeapYear(year)) 56 passedDays++; 57 58 return passedDays; 59 } 60 61 /*計算一年中還剩下的天數，不包括指定的這一天*/ 62 int CalcYearRestDays(int year, int month, int day) 63 { 64 int leftDays = daysOfMonth[month - 1] - day; 65 66 int i; 67 for(i = month; i < MONTHES_FOR_YEAR; i++) 68 { 69 leftDays += daysOfMonth[i]; 70 } 71 72 if((month <= 2) && IsLeapYear(year)) 73 leftDays++; 74 75 return leftDays; 76 } 77 78 /* 79 計算years年1月1日和yeare年1月1日之間的天數， 80 包括years年1月1日，但是不包括yeare年1月1日 81 */ 82 int CalcYearsDays(int years, int yeare) 83 { 84 int days = 0; 85 86 int i; 87 for(i = years; i < yeare; i++) 88 { 89 if(IsLeapYear(i)) 90 days += DAYS_OF_LEAP_YEAR; 91 else 92 days += DAYS_OF_NORMAL_YEAR; 93 } 94 95 return days; 96 } |
另一種計算兩個日期相差天數的方法是利用儒略日（Julian Day，JD）進行計算。首先介紹一下儒略日，儒略日是一種不記年，不記月，只記日的歷法，是由法國學者Joseph Justus Scaliger（1540－1609）在1583年提出來的一種以天數爲計量單位的流水日曆。儒略日和儒略曆（Julian Calendar）沒有任何關係，命名爲儒略日也僅僅他本人爲了紀念他的父親――意大利學者Julius Caesar Scaliger（1484－1558）。簡單來講，儒略日就是指從公元前4713年1月1日UTC 12:00開始所經過的天數，JD0就被指定爲公元前4713年1月1日 12:00到公元前4713年1月2日12:00之間的24小時，依次順推，每一天都被賦予一個唯一的數字。例如從1996年1月1日12:00開始的一天就是儒略日JD2450084。使用儒略日可以把不同曆法的年表統一起來，很方便地在各種曆法中追溯日期。如果計算兩個日期之間的天數，利用儒略日計算也很方便，先計算出兩個日期的儒略日數，然後直接相減就可以得到兩個日期相隔的天數。
由公曆的日期計算出儒略日數是一個很簡單的事情，有多個公式可以計算儒略日，本文選擇如下公式計算儒略日：
其中y是年份，m是月份，d是日期，如果m小於或等於2，則m修正爲m+12，同時年份修正爲y-1。c值由以下方法計算：
下面就是由公曆日期計算儒略日的算法實現：
119 int CalculateJulianDay(int year, int month, int day) 120 { 121 int B = 0; 122 123 if(month <= 2) 124 { 125 month += 12; 126 year -= 1; 127 } 128 if(IsGregorianDays(year, month, day)) 129 { 130 B = year / 100; 131 B = 2 - B + year / 400; 132 } 133 134 double dd = day + 0.5000115740; /*本日12:00後纔是儒略日的開始(過一秒鐘)*/ 135 return int(365.25 * (year + 4716) + 0.01) + int(30.60001 * (month + 1)) + dd + B - 1524.5; 136 } |
儒略日的計算通常精確到秒，得到的JD數也是一個浮點數，本文僅僅是爲了計算日期相隔的整數天數，因此都採用整數計算。由於儒略日的週期開始與每天中午12:00，而曆法中的天數通常是從0:00開始的，因此儒略日計算上對日期的天數進行了修正。1977年3月27日的儒略日是2443230，2005年5月31日的儒略日是2453522，差值是10292，和前一種方法計算的結果一致。
我們用兩種方法計算出兩個日期之間的天數都是10292，現在用10292除以7得到餘數是2，也就是說2005年5月31日與1977年3月27日星期數差兩天，所以2005年5月31日就是是星期二。
上述計算星期的方法雖然步驟簡單，但是每次都要計算兩個日期的時間差，不是非常方便。如果能夠有一個公式可以直接根據日期計算出對應的星期豈不是更好？幸運的是，這樣的公式是存在的，下篇將繼續介紹公式法直接計算某一天星期數的算法。
小知識1：公曆的閏年
中國公曆（也就是格里曆）的置閏規則是四年一閏，百年不閏，四百年再閏，爲什麼會有這麼奇怪的置閏規則呢？這實際上與天體運行週期與人類定義的歷法週期之間的誤差有關。地球繞太陽運轉的週期是365.2422天，即一個迴歸年（Tropical Year），而公曆的一年是365天，這樣一年就比迴歸年短了0.2422日，四年積累下來就多出0.9688天（約1天），於是設置一個閏年，這一年多一天。這樣一來，四個公曆年又比四個迴歸年多了0.0312天，平均每年多0.0078天，這樣經過四百年就會多出3.12天，也就是說每四百年要減少3個閏年才行，於是就設置了百年不閏，四百年再閏的置閏規則。
實際上公曆的置閏還有一條規則，就是對於數值很大的年份，如果能整除3200，同時能整除172800則是閏年。這是因爲前面即使四百年一閏，仍然多了0.12天，平均就是每天多0.0003天，於是每3200年就又多出0.96天，也就是說每3200年還要減少一個閏年，於是能被3200整除的年就不是閏年了。然而誤差並沒有終結，每3200年減少一個閏年（減少一天）實際上多減了0.04天，這個誤差還要繼續累計計算，這已經超出了本文的範圍，有興趣的讀者可以自己計算。