關鍵路徑

參閱:http://baike.baidu.com/view/288224.htm?fr=ala0_1

 

關鍵路徑

　　關鍵路徑
　　1、 AOE網
　　用頂點表示事件，弧表示活動，弧上的權值表示活動持續的時間的有向圖叫AOE（Activity On Edge Network）網 。AOE網常用於估算工程完成時間。
　　2、 AOE網研究的問題
　　（1） 完成整個工程至少需要多少時間；
　　（2） 哪些活動是影響工程的關鍵。
　　1956年，美國杜邦公司提出關鍵路徑法，並於1957年首先用於1000萬美元化工廠建設，工期比原計劃縮短了4個月。杜邦公司在採用關鍵路徑法的一年中，節省了100萬美元。
　　3、 關鍵路徑的幾個術語
　　（1） 關鍵路徑 從源點到匯點的路徑長度最長的路徑叫關鍵路徑。
　　（2） 活動開始的最早時間e(i)
　　（3） 活動開始的最晚時間l(i) 定義e(i)=l(i)的活動叫關鍵活動。
　　（4） 事件開始的最早時間ve(i)
　　（5） 事件開始的最晚時間vl(i)
　　設活動ai由弧<j,k>(即從頂點j到k)表示，其持續時間記爲dut(<j,k>),則
　　e(i)=ve(j)
　　l(i)=vl(k)-dut(<j,k>) (6_6_1)
　　求ve(i)和vl(j)分兩步：
　　· 從ve(1)=0開始向前遞推
　　ve(j)=Max{ ve(i)+dut(<i,j>) } (6_6_2)
　　<i,j>T, 2<=j<=n
　　其中，T是所有以j爲弧頭的弧的集合。
　　· 從vl(n)=ve(n)開始向後遞推
　　vl(i)=Min{ vl(j)-dut(<i,j>) } (6_6_3)
　　<i,j>S, 1<=i<=n-1
　　其中，S是所有以i爲弧尾的弧的集合。
　　兩個遞推公式是在拓撲有序和逆拓撲有序的前提下進行。
　　4、 求關鍵路徑的算法
　　(1) 輸入e條弧<j,k>，建立AOE網的存儲結構。
　　(2) 從源點v1出發，令ve(1)=0,求 ve(j) 2<=j<=n。
　　(3) 從匯點vn出發，令vl(n)=ve(n),求 vl(i) 1<=i<=n-1。
　　(4) 根據各頂點的ve和vl值，求每條弧s（活動）的最早開始時間e(s)和最晚開始時間l(s)，其中e(s)=l(s)的爲關鍵活動。
　　求關鍵路徑是在拓撲排序的前提下進行的，不能進行拓撲排序，自然也不能求關鍵路徑。
　　Status ToplogicalSort(ALGraph G,stack &T){
　　FindInDegree(G,indegree);
　　InitStack(S);count=0; ve[0..G.vexnum-1]=0;
　　while(!StackEmpty(S))
　　{ Pop(S,j);Push(T,j); ++count;
　　for(p=G.vertices[j].firstarc;p;p=p->nextarc)
　　{k=p>adjvex;
　　if(--indegree[k]==0) Push(S,k);
　　if(ve[j]+*(p->info)>ve[k]) ve[k]=ve[j]+*(p->info);
　　}
　　}
　　if(count<G.vexnum) return ERROR;
　　else return OK;
　　}
　　status CriticalPath(ALGraph G){
　　if(!ToplogicalOrder(G,T)) return ERROR;
　　vl[0..G.vexnum-1]=ve[0..G.vexnum-1];
　　while(!StackEmpty(T))
　　for(Pop(T,j),p=G.vertices[j].firstarc;p;p=p->nextarc)
　　{k=p>adjvex; dut=*(p->info);
　　if(vl[k]-dut<vl[j]) vl[j]=vl[k]-dut;
　　}
　　for(j=0;j<G.vexnum;++j)
　　for(p=G.vertices[j].firstarc;p;p=p->nextarc)
　　{k=p>adjvex; dut=*(p->info);
　　ee=ve[j]; el=vl[k];
　　tag=(ee==el)?’*’:’’;
　　printf(j,kdut,ee,el,tag);
　　}
　　}
　　6、 求關鍵路徑的算法分析
　　（1） 求關鍵路徑必須在拓撲排序的前提下進行，有環圖不能求關鍵路徑；
　　（2） 只有縮短關鍵活動的工期纔有可能縮短工期；
　　（3） 若一個關鍵活動不在所有的關鍵路徑上，減少它並不能減少工期；
　　（4） 只有在不改變關鍵路徑的前提下，縮短關鍵活動才能縮短整個工期。