計算機科學和數學的關係有點奇怪。二三十年以前，計算機科學基本上還是數學的一個分
支。而現在，計算機科學擁有廣泛的研究領域和衆多的研究人員，在很多方面反過來推動
數學發展，從某種意義上可以說是孩子長得比媽媽還高了。
但不管怎麼樣，這個孩子身上始終流着母親的血液。這血液是the mathematical underpi
nning of computer science(計算機科學的數學基礎)，-- 也就是理論計算機科學。
現代計算機科學和數學的另一個交叉是計算數學/數值分析/科學計算，傳統上不包含在理
論計算機科學以內。所以本文對計算數學全部予以忽略。
最常和理論計算機科學放在一起的一個詞是什麼？答：離散數學。這兩者的關係是如此密
切，以至於它們在不少場合下成爲同義詞。
傳統上，數學是以分析爲中心的。數學系的同學要學習三四個學期的數學分析，然後是復
變，實變，泛函等等。實變和泛函被很多人認爲是現代數學的入門。在物理，化學，工程
上應用的，也以分析爲主。
隨着計算機科學的出現，一些以前不太受到重視的數學分支突然重要起來。人們發現，這
些分支處理的數學對象與傳統的分析有明顯的區別：分析研究的對象是連續的，因而微分
，積分成爲基本的運算；而這些分支研究的對象是離散的，因而很少有機會進行此類的計
算。人們從而稱這些分支爲“離散數學”。“離散數學”的名字越來越響亮，最後導致以
分析爲中心的傳統數學分支被相對稱爲“連續數學”。
離散數學經過幾十年發展，基本上穩定下來。一般認爲，離散數學包含以下學科：
1) 集合論，數理邏輯與元數學。這是整個數學的基礎，也是計算機科學的基礎。
2) 圖論，算法圖論；組合數學，組合算法。計算機科學，尤其是理論計算機科學的核心是
算法，而大量的算法建立在圖和組合的基礎上。
3) 抽象代數。代數是無所不在的，本來在數學中就非常重要。在計算機科學中，人們驚訝
地發現代數竟然有如此之多的應用。
但是，理論計算機科學僅僅就是在數學的上面加上“離散”的帽子這麼簡單嗎？一直到大
約十幾年前，終於有一位大師告訴我們：不是。
D.E.Knuth(他有多偉大，我想不用我廢話了)在Stanford開設了一門全新的課程Concrete
Mathematics。 Concrete這個詞在這裏有兩層含義：
第一，針對abstract而言。Knuth認爲，傳統數學研究的對象過於抽象，導致對具體的問題
關心不夠。他抱怨說，在研究中他需要的數學往往並不存在，所以他只能自己去創造一些
數學。爲了直接面嚮應用的需要，他要提倡“具體”的數學。
在這裏我做一點簡單的解釋。例如在集合論中，數學家關心的都是最根本的問題--公理系
統的各種性質之類。而一些具體集合的性質，各種常見集合，關係，映射都是什麼樣的，
數學家覺得並不重要。然而，在計算機科學中應用的，恰恰就是這些具體的東西。Knuth能
夠首先看到這一點，不愧爲當世計算機第一人。
第二，Concrete是Continuous(連續)加上discrete(離散)。不管連續數學還是離散數學，
都是有用的數學！
前面主要是從數學角度來看的。從計算機角度來看，理論計算機科學目前主要的研究領域
包括：可計算性理論，算法設計與複雜性分析，密碼學與信息安全，分佈式計算理論，並
行計算理論，網絡理論，生物信息計算，計算幾何學，程序語言理論等等。這些領域互相
交叉，而且新的課題在不斷提出，所以很難理出一個頭緒來。
下面隨便舉一些例子。
由於應用需求的推動，密碼學現在成爲研究的熱點。密碼學建立在數論(尤其是計算數論)
，代數，信息論，概率論和隨機過程的基礎上，有時也用到圖論和組合學等。
很多人以爲密碼學就是加密解密，而加密就是用一個函數把數據打亂。這就大錯特錯了。
現代密碼學至少包含以下層次的內容：
第一，密碼學的基礎。例如，分解一個大數真的很困難嗎？能否有一般的工具證明協議正
確？
第二，密碼學的基本課題。例如，比以前更好的單向函數，簽名協議等。
第三，密碼學的高級問題。例如，零知識證明的長度，祕密分享的方法。
第四，密碼學的新應用。例如，數字現金，叛徒追蹤等。