約瑟夫環之遞歸算法

問題描述：
約瑟夫環是一個數學的應用問題：已知n個人（以編號1，2，3…n分別表示）圍坐在一張圓桌周圍。由第一個人開始報數，數到m的那個人出列；他的下一個人又從1開始報數，數到m的那個人又出列；依此規律重複下去，直到最後剩下一個人。
一般的思路就是通過一個count計數的方法，循環遍歷鏈表，逐一刪除。但是這樣的方法時間複雜度要有O（n×m），（總共要刪除n-1個數，每刪除一個需要遍歷m次）。那有沒有什麼辦法直接就找到我們需要刪除的那個節點呢，比如給你鏈表1→2→3→4→5→1，這是環狀鏈表。如果m=3的話，最後留下的是第4個節點。這裏我們就需要借用數學的方式來進行推到公式，利用遞歸的方式求解了。
遞歸求解思路：
（我通過遞歸的方式，返回需要刪除第幾個節點，所以，節點編號從1開始，返回的也是第幾個節點）
第一次刪除第m個節點很簡單，就是m%n的那個節點，但是第二次刪除節點就有點困難了，爲什麼，因爲，你需要從第m+1的節點重新從1開始數，數到第m個節點再次刪除。其實，不知道你們有沒有發現，其實第二次開始數的第1個節點，就是上一次的m+1號節點。所以前一個鏈表節點和後一個鏈表節點對應的編號關係就是：
oldNum=（newNum+m-1）%（當前節點數）+1 （1）
下面從圖片分析下：

根據公式（1）的關係，你就可以由新鏈表找到對應就鏈表的編號位子了。當鏈表中由i個節點時，編號對應的公式是：num(i) = （num（i-1）+m-1）%i +1;
（如果鏈表從0開始編號的話，那麼公式就是num(i) = （num（i-1）+m）%i ），返回的是下標值，且最後num（1） = 0；）

代碼實現：

public class JosephusProblem {
   //鏈表節點類
    public static class Node {
        public int value;
        public Node next;
        public Node(int data) {
            this.value = data;
        }
    }
    public static Node josephusKill2(Node head, int m) {
        if (head == null || head.next == head || m < 1) {
            return head;
        }
        Node cur = head.next;
        int tmp = 1; // 表示鏈表長度
        /*
        *計算鏈表長度
        */
        while (cur != head) {
            tmp++;
            cur = cur.next;
        }
        tmp = getLive(tmp, m); // 返回鏈表中應該刪除的那個值位置
        while (--tmp != 0) {
            head = head.next;
        }
        head.next = head;
        return head;
    }

    public static int getLive(int i, int m) {
        if (i == 1) {
        //如果從0開始編號的話，此處return 0
            return 1;
        }
        //如果從0開始編號的話，此處(getLive(i - 1, m) + m) % i，返回的就是下標值
        return (getLive(i - 1, m) + m - 1) % i + 1;//這個就是上述公式實現
    }
}

參考文獻：
求自然語言解釋：約瑟夫環之遞歸算法？