整理與隨筆——抽象代數 第一章 羣 1.1-1.2 代數體系、半羣與羣

教程：抽象代數（鄧少強）
名詞太多，這裏以框架的形式整理，把必要的定義和定理進行簡易解釋。
抽象代數的歷史來源：
一元五次及以上的方程是否有根式解？歐拉，拉格朗日，高斯，阿貝爾
如何找出一類特殊方程可用根式解？伽羅瓦——Galois理論 （這裏必須要表達我對Galois的敬佩！）

1.1 代數體系

代數體系就是集合+運算

• 集合

1.1.1 運算

• 映射
  $i: A_0 \rightarrow A$
  稱$i$爲$A_0$到$A$的嵌入映射。
  若$i(x) = x$，則稱$i$爲$A_0$到$A$的嵌入映射
• 交換圖：例如$f_3 f_2 f_1$=$g_2 g_1$，則有交換圖
  
• 開拓、限制：$f$爲$g$的開拓，$g$爲$f$（在$A_0$上）的限制，記爲$g=f|_{A_0}$，可用交換圖表示爲
  
  其中$i$是嵌入映射。
• 直積（集合）
• （二元）運算
  映射$f: A \times B \rightarrow D$稱爲$A$與$B$到$D$的一個代數運算。如果$A$,$B$,$D$都相同，則$f$是$A$上的二元運算。
  例：設$\mathbb{V}$爲線性空間，數域爲$\mathbb{P}$，
  $\mathbb{V}$中加法：$\mathbb{V} \times \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{V}$.
  $\mathbb{V}$中乘法：$\mathbb{P} \times \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{V}$.

研究抽象代數很重要的就是研究運算規律

• 運算規律

  • 交換律：不常見
  • 結合律：常見
  • 分配律：左分配律，右分配律，分配律涉及兩種運算。環中常見

• 運算表：可以讀出交換律

1.1.2 關係

• （二元）關係：設$A \neq \emptyset$，$A$中一個關係爲$A \times A$中的一個子集$R$。構造新集合的方法，例如“$>$”，“$<$”，“$=$”

  • 自反性
  • 對稱性
  • 傳遞性

• 等價關係：滿足上述三條性質的關係。例如矩陣的相似、合同等

  • 劃分：$A$的一個劃分就是將$A$寫成一些不相交的非空子集之並
  • 等價類：記作$\bar{a}$或$[a]$
  • 商集合：$A/R=\{\bar{a}|a \in A\}$
  • 自然映射：映射$\pi : A \rightarrow A/R$，$\pi(a) = \bar{a}$

• 定理1.1.1
  $A$中的一個分類決定了$A$中的一個等價關係，反之也成立
  關係和分類可以看作一回事

• 同餘關係
  二元運算“$\circ$”，等價關係$R$，如果
  $a_1 R b_1, a_2Rb_2 \Rightarrow a_1 \circ a_2 R b_1 \circ b_2$
  則稱$R$爲“$\circ$”的同餘關係
  在$A/R$中定義
  $\bar{a} \bar{\circ} \bar{b} = \overline{a\circ b}$
  注意這種定義是正確的。如果$c \in \bar{a}$，$d \in \bar{b}$，同餘關係保證$\overline{a\circ b}= \overline{c\circ d}$

• 代數體系：集合$A$，等價關係$R$爲“$\circ$”的同餘關係，
  $\{A; \circ \}$是代數體系，可以導出另一個代數體系$\{A/R; \bar{\circ} \}$

1.2 半羣與羣

1.2.1 半羣與羣

羣=非空集合+二元運算+性質

• 半羣：設$G$爲一個非空集合，$G$上有二元運算$\circ$，滿足結合律，則稱$\{G;\circ\}$（或$G$）爲一個半羣

• 幺元，幺半羣：設$\{G; \circ\}$爲半羣，若元素$e_1 \in G$，滿足$\forall a \in G, e_1 a = a$，則稱$e_1$爲$G$的左幺元；右幺元類似。若$e$即是左幺元，又是右幺元，那麼稱之爲幺元。$G$稱爲幺半羣

• 逆元，羣：設$\{G; \circ\}$爲幺半羣，$e$爲幺元，$a \in G$，若元素$a'$ 滿足 $a'\circ a=e$，則稱$a'$爲$a$的左逆元；右逆元類似；若$b$即是$a$的左逆元，又是$a$的右逆元，則稱$b$爲$a$的一個逆元，記爲$a^{-1}$. 若幺半羣$G$中每個元素都可逆，稱$G$爲羣
  從集合觀點來看：$G \neq \emptyset$，定義了二元運算$\circ$

  1. $G$對$\circ$封閉
  2. $\circ$滿足結合律
  3. $G$存在幺元$e$
  4. $\forall a\in G$，存在逆元

  羣的定義非常多（某教科書17種？ ）

• Abel羣：交換的羣
  例如任意一個數域$\mathbb{P}$對數的加法爲Abel羣；$\mathbb{P} \ \{0\}$對乘法爲Abel羣

• 定理1.2.1
  幺半羣的幺元唯一
  證明思路：$e=ee'=e$

• 定理1.2.2
  羣的逆元唯一
  證明思路：$bab'=eb'=b'=be=b$

• 定理1.2.3
  羣滿足左右消去律。左消去律若$ab=ac$，則$b=c$，右消去律類似

• 定理1.2.4
  設$G$爲羣，則$\forall a,b\in G$，方程$ax=b,xa=b$都存在唯一解

• 定理1.2.5
  設$G$爲半羣，若$\forall a,b \in G$，方程$ax=b, xa=b$都有解，則$G$爲羣
  該定理也是羣的一種定義

• 定理1.2.6
  有限半羣$G$若滿足左右消去律，則$G$爲羣
  無限的不行，例如：自然數（注意抽象代數中的自然數集合不含0）對乘法

• 乘法羣，加法羣：乘法羣把羣的運算用乘法（包括冪次）表示；加法羣把羣的運算用加法（包括數乘，負號）表示，加法羣常用於交換羣

1.2.2 階

• 階：設$G$爲羣，$G$的階表示$G$中元素的個數，記爲$|G|$

• 設$G$爲羣，$a \in G$，若對$\forall n \in \mathbb{N}, a^n \neq e$，稱$a$的階爲無窮，若至少存在一個$m \in \mathbb{N}$，使$a^m=e$，定義$a$的階爲$min \{k \in \mathbb{N}|a^k=e\}$

• 定理1.2.7
  設$G$爲羣，$a \in G$，$a$的階爲無窮 $\Leftrightarrow$ $\forall m,n \in \mathbb{Z}, m\neq n$ 則 $a^m \neq a^n$

• 定理1.2.8
  設$G$爲羣，$a\in G$，$a$的階爲$d$，則

  1. $a^k=e \Leftrightarrow d|k$
  2. $a^k=a^h \Leftrightarrow d|h-k$

• 定理1.2.9
  設$G$爲羣，$a \in G$，$a$的階爲$d$，則

  1. $a^k$的階爲$d/(d,k), \quad (k>0)$
  2. $a^k$的階爲$d$ $\Leftrightarrow$ $(d,k)=1$

  證：只需證命題1，
  設$a^k$的階爲$q$，設$d=d_1(d,k),\quad k=k_1(d,k)$，
  一方面：$(a^k)^q=e=a^{qk}$. 故由定理1.2.8，$d|qk$，即$d_1 | k_1q$，因$(d_1,k_1)=1$，僅$d_1|q$，故$d/(d,k)|q$.
  另一方面：$(a^k)^{d_1}=a^{k_1(d,k)d_1}=(a^{d})^{k_1}=e$，故由定理1.2.8， $q|d_1=d/(d,k)$. 故$q = d/(d,k)$.

• 定理1.2.10
  設$G$爲羣，$a,b \in G$，$a$的階爲$m$，$b$的階爲$n$，且$ab=ba,(m,n)=1$，則$ab$的階爲$mn$
  注意，如果不要$ab=ba$這個條件，那麼$ab$的階不一定是有限的。（另外注意有限羣的元素一定是有限階的，這個也容易證）