7. 樹--平衡二叉樹

平衡二叉樹

平衡二叉樹（Balanced Binary Tree），又稱AVL樹

定義

空樹，或者任一結點左、右子樹高度差的絕對值不超過1，即|BF(T)|≤1

• “平衡因子”（Balance Factor，簡稱BF）：BF(T)=hL−hR ，其中hL 和hR 分別爲T 的左、右子樹的高度

特性

• 設nh 是高度爲h 的平衡二叉樹的最小結點數，有：
  
  • nh=nh−1+nh−2+1
  • nh=Fh+2−1,h≥0 ，Fh 爲斐波那契函數
  • 給定結點數爲n 的AVL樹的查找效率是O(logn2) ，最大高度是logn2

平衡二叉樹的調整

在插入結點時，導致某個結點不平衡，把這個結點稱爲發現者，插入結點稱爲麻煩結點

RR插入

麻煩結點在發現者右子樹的右邊，需要RR旋轉（右單旋）

LL插入

麻煩結點在發現者左子樹的左邊，需要LL旋轉（左單旋）

LR插入

麻煩結點在發現者左子樹的右邊，需要LR旋轉

RL插入

麻煩結點在發現者右子樹的左邊，需要RL旋轉

注意：有時候插入元素即便不需要調整結構，也可能需要重新計算一些平衡因子