二叉樹

定義

一個有窮的結點集合
這個集合可以爲空
若不爲空，則它是由根結點和稱爲其左子樹TL 和右子樹TR 的兩個不相交的二叉樹組成。
二叉樹具體五種基本形態
二叉樹的子樹有左右順序之分

特殊二叉樹

斜二叉樹（Skewed Binary Tree）

滿二叉樹（Full Binary Tree）

又稱完美二叉樹（Perfect Binary Tree）

完全二叉樹（Complete Binary Tree）

有n 個結點的二叉樹，對樹中結點按從上至下、從左到右順序進行編號，編號爲i(1≤i≤n) 結點與滿二叉樹中編號爲i 結點在二叉樹中位置相同，只會在最後一層出現右邊纔會出現沒有結點的情況。滿二叉樹也是完全二叉樹。

非完全二叉樹

二叉樹的性質

一個二叉樹第i 層的最大結點數爲：2i−1 ，i≥1
深度爲k 的二叉樹有最大結點總數爲：2k−1 ，k≥1
對任何非空二叉樹T，若n0 表示葉結點的個數、n1 是度爲1的非葉結點個數、n2 是度爲2的非葉結點個數，那麼兩者滿足關係n0=n2+1
例：
- n0=4 ，n1=2
- n2=3
- 所以可以推出n0=n2+1

抽象數據類型定義

類型名稱：二叉樹
數據對象集：一個有窮的結點集合。若不爲空，則由根結點和其左右二叉子樹組成
操作集：BT∈BinTree ，Item∈ElementType ，重要的操作有：
1. Boolean IsEmpty(BinTree BT)：判斷BT是否爲空
2. BinTree CreatBinTree()：創建一個二叉樹
3. void Traversal(BinTree BT)：遍歷，按某順序訪問每個結點
  - void PreOrderTraversal(BinTree BT)：先序遍歷—根、左子樹、右子樹
  - void InOrderTraversal(BinTree BT)：中序遍歷—左子樹、根、右子樹
  - void PostOrderTraversal(BinTree BT)：後序遍歷—左子樹、右子樹、根
  - void LevelOrderTraversal(BinTree BT)：層序遍歷—從上到下、從左到右

順序存儲結構

完全二叉樹

按從上至下、從左到右順序存儲

n 個結點完全二叉樹的結點父子關係：
* 非根結點（序號i≥1 ）的父結點的序號是⌊i/2⌋
* 結點（序號爲i ）的左孩子結點的序號是2i （如果2i≥n ，則沒有左孩子）
* 結點（序號爲i ）的右孩子結點的序號是2i+1 （如果2i+1≥n ，則沒有右孩子）

例

結點	序號
A	1
B	2
O	3
C	4
S	5
M	6
Q	7
W	8
K	9

一般二叉樹

一般二叉樹也可以採用這種結果，但會造成空間浪費，不推薦使用

例

結點	序號
A	1
B	2
O	3
NULL	4
NULL	5
M	6
NULL	7
NULL	8
NULL	9
NULL	10
NULL	11
NULL	12
C	13

鏈式存儲

結構定義

typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Position;
struct TreeNode {
    ElementType Data;
    BinTree Left;
    BinTree Right;
}

二叉樹的遞歸遍歷

先序遍歷

遍歷過程：
1. 訪問根結點
2. 先序遍歷其左子樹
3. 先序遍歷其右子樹

實現

void PreOrderTraversal(BinTree BT) {
    if (NULL != BT) {
        printf("%d ", BT->Data);
        PreOrderTraversal(BT->Left);
        PreOrderTraversal(BT->Right);
    }
}

例

遍歷結果：A B D F E C G H I

在整個遍歷過程中，根結點在子樹遍歷時總是第一個輸出的

中序遍歷

遍歷過程：
1. 中序遍歷其左子樹
2. 訪問根結點
3. 中序遍歷其右子樹

實現

void InOrderTraversal(BinTree BT) {
    if (NULL != BT) {
        InOrderTraversal(BT->Left);
        printf("%d ", BT->Data);
        InOrderTraversal(BT->Right);
    }
}

例

遍歷結果：D B E F A G H C I

中序遍歷時，根結點的左子樹輸出在根結點之前，右子樹輸出在根結點之後

後序遍歷

遍歷過程：
1. 後序遍歷其左子樹
2. 後續遍歷其右子樹
3. 訪問根結點

實現

void PostOrderTraversal(BinTree BT) {
    if (NULL != BT) {
        PostOrderTraversal(BT->Left);
        PostOrderTraversal(BT->Right);
        printf("%d ", BT->Data);
    }
}

例

遍歷結果：D E F B H G I C A

在整個遍歷過程中，根結點在子樹遍歷時總是最後一個輸出的

總結

先序、中序和後序遍歷過程中經過結點的路線一樣，只是訪問各結點的時機不同
圖中在從入口到出口的曲線上用⊗ 、⋆ 和△ 三種符號分別標記出了先序、中序和後序訪問各結點的時刻

二叉樹的非遞歸遍歷

非遞歸算法實現的基本思路：使用棧

中序遍歷

遇到一個結點，就把它壓棧
當左子樹遍歷結束後，從棧頂彈出這個結點並訪問它
然後按其右指針再去中序遍歷該結點的右子樹

實現

void InOrderTraversal(BinTree BT) {
    BinTree T = BT;
    Stack S = CreatStack(MaxSize); // 創建並初始化棧S

    while (NULL != T || !IsEmpty(S)) {
        while (NULL != T) { // 一直向左並將沿途結點壓入棧中
            Push(S, T);
            T = T->Left;
        }

        T = Pop(S);     // 結點彈出棧
        printf("%d ", T->Data); // 訪問結點
        T = T->Right;   // 轉向右子樹
    }
}

先序遍歷

遇到一個結點，先訪問結點，然後把它壓棧
當左子樹遍歷結束後，從棧頂彈出這個結點但不訪問
然後按其右指針再去前序遍歷該結點的右子樹

實現

void PreOrderTraversal(BinTree BT) {
    BinTree T = BT;
    Stack S = CreatStack(MaxSize); // 創建並初始化棧S

    while (NULL != T || !IsEmpty(S)) {
        while (NULL != T) { // 一直向左並將沿途結點壓入棧中
            printf("%d ", T->Data); // 訪問結點
            Push(S, T);
            T = T->Left;
        }

        T = Pop(S);     // 結點彈出棧
        T = T->Right;   // 轉向右子樹
    }
}

後序遍歷

後序遍歷思路與前序遍歷相似，不過是按照根、右子樹、左子樹的方式遍歷以後逆序輸出
使用兩個棧來進行，棧1保存訪問的結果，棧2進行遍歷
遇到一個結點，先把這個結點壓入棧1，然後同時壓入棧2
當右子樹遍歷結束後，從棧2中彈出這個結點但不訪問
然後按照其左指針再去遍歷該結點的左子樹
遍歷結束以後，輸出棧1的值，即爲後序遍歷的結果

實現

void PostOrderTraversal(BinTree BT) {
    BinTree T = BT;
    Stack S = CreatStack(MaxSize); // 創建並初始化棧S
    Stack Resut_S = CreatStack(MaxSize); // 保存訪問結果的棧
    while (NULL != T || !IsEmpty(S)) {
        while (NULL != T) { // 一直向左並將沿途結點壓入棧中
            Push(Resut_S, T);   //  保存訪問結果
            Push(S, T);
            T = T->Right;
        }

        T = Pop(S);     // 結點彈出棧
        T = T->Left;   // 轉向左子樹
    }

    // 逆序輸出
    while (!IsEmpty(Resut_S)) {
        T = Pop(Resut_S);     // 結點彈出棧
        printf("%d ", T->Data); // 訪問結點
    }
}

層序遍歷

使用隊列來實現，層序基本過程：先根結點入隊，然後：
1. 從隊列中取出一個元素
2. 訪問該元素所指結點
3. 若該元素所指結點的左右孩子結點非空，則將其左右孩子的指針順序入隊列

實現

void LevelOrderTraversal(BinTree BT) {
    Queue Q;
    BinTree T;

    if (NULL == BT)         // 如果是空樹則直接返回
        return;

    Q = CreatQueue(MaxSize);    // 創建並初始化隊列Q
    AddQ(Q, BT);
    while (!IsEmptyQ(Q)) {
        T = DeleteQ(Q);
        printf("%d ", T->Data); // 訪問取出隊列的結點
        if (NULL != T->Left)
            AddQ(Q, T->Left);
        if (NULL != T->Right)
            AddQ(Q, T->Right);
    }
}

二叉樹遍歷的應用

輸出二叉樹中葉子結點

在二叉樹的遍歷算法中增加檢測結點的“左右子樹是否都爲空”

實現

以前序遍歷爲例

void PreOrderTraversal(BinTree BT) {
    if (NULL != BT) {
        if (NULL == BT->Left && NULL == BT->Right) 
            printf("%d ", BT->Data);
        PreOrderTraversal(BT->Left);
        PreOrderTraversal(BT->Right);
    }
}

求二叉樹的高度

實現

int PostOrderGetHeight(BinTree BT) {
    int HL, HR, MaxH;

    if (NULL != BT) {
        HL = PostOrderGetHeight(BT->Left);      // 求左子樹深度
        HR = PostOrderGetHeight(BT->Right);     // 求右子樹深度
        MaxH = (HL > HR) ? HL : HR;             // 取左右子樹較大的深度

        return MaxH + 1;                        // 返回樹的深度
    }

    return 0;   // 空樹深度爲0
}

二元運算表達式樹及其遍歷

三種遍歷可以得到三種不同的訪問結果：
* 先序遍歷得到前綴表達式
* 中序遍歷得到中綴表達式（中綴表達式會受到運算符優先級的影響，輸出的時候不能直接輸出，需要做額外處理）
* 後序遍歷得到後綴表達式

例

先序遍歷：+ + a ∗ b c ∗ + ∗ d e f g
中序遍歷：a + b ∗ c + d ∗ e + f ∗ g，這一部分是的運算符優先級是有問題的
後序遍歷：a b c ∗ + d e ∗ f + g ∗ +

由兩種遍歷序列確定二叉樹

由中序遍歷和前序遍歷（後序遍歷）可以唯一確定一棵二叉樹

例

以先序和中序遍歷序列來確定一棵二叉樹

根據先序遍歷序列第一個結點確定根結點
根據根結點在中序遍歷序列中分割出左右兩個子序列
對左子樹和右子樹分別遞歸使用相同的方法繼續分解

5. 樹--二叉樹的表示及其遍歷

二叉樹

定義

特殊二叉樹

斜二叉樹（Skewed Binary Tree）

滿二叉樹（Full Binary Tree）

完全二叉樹（Complete Binary Tree）

非完全二叉樹

二叉樹的性質

抽象數據類型定義

順序存儲結構

完全二叉樹

例

一般二叉樹

例

鏈式存儲

結構定義

二叉樹的遞歸遍歷

先序遍歷

實現

例

中序遍歷

實現

例

後序遍歷

實現

例

總結

二叉樹的非遞歸遍歷

中序遍歷

實現

先序遍歷

實現

後序遍歷

實現

層序遍歷

實現

二叉樹遍歷的應用

輸出二叉樹中葉子結點

實現

求二叉樹的高度

實現

二元運算表達式樹及其遍歷

例

由兩種遍歷序列確定二叉樹

例