HDU-1024 Max Sum Plus Plus（動態規劃+滾動數組）

題目描述

Now I think you have got an AC in Ignatius.L’s “Max Sum” problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem.

Given a consecutive number sequence S 1, S 2, S 3, S 4 … S x, … S n (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ S x ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = S i + … + S j (1 ≤ i ≤ j ≤ n).

Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i 1, j 1) + sum(i 2, j 2) + sum(i 3, j 3) + … + sum(i m, j m) maximal (i x ≤ i y ≤ j x or i x ≤ j y ≤ j x is not allowed).

But I`m lazy, I don’t want to write a special-judge module, so you don’t have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(i x, j x)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_

輸入格式

Each test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S 1, S 2, S 3 … S n.
Process to the end of file.

輸出格式

Output the maximal summation described above in one line.

樣例輸入

1 3 1 2 3
2 6 -1 4 -2 3 -2 3

樣例輸出

6
8

題意：

給定長度爲N的序列S。定義sum(i , j) = s[i] + … + s[j]。給定m，求最大的m段連續序列和：
sum(i ₁, j ₁) + … + sum(i _m, j _m), 且沒有ix <= iy <=jx；
即在n個數中選出m組數, 每組數連續且不能相交, 求其所有組的最大和。

題解：

• 定義狀態：dp[i][j]爲以第j個數結尾的分爲i份的最大。
• 狀態轉移：一個以a[j]結尾的“i份最大劃分組”，要麼將是將a[j]加入a[j-1]結尾的“i份劃分組”，即dp[i][j-1]+a[j]； 要麼是a[j]單獨自成一組，與前面的“i-1份最大劃分組”結合，即max(dp[i-1][k])+a[j] 其中k < j
• 狀態方程： $dp[i][j] = \max(dp[i][j-1]+a[j],\ \max(dp[i-1][k]) + a[j])$
• n²的空間複雜度對於1e6是明顯超限的。需要優化。
  因爲我們只需要劃分成m份的最大和，中間的過程都不需要（和揹包問題類似），所以我們可以只用一維數組滾動就行了。
• 對於dp[i-1][k]：上一層劃分的之前的最大值，可以用額外的數組lastmax來存儲，在滾動時維護。
• 在m次循環後，dp[n]數組中的最大值即爲最後所求答案

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 1000005
#define inf 0x3f3f3f3f

int dp[maxn], a[maxn], lastmax[maxn]; 

int main()
{
    int m, n;
    while(scanf("%d %d",&m,&n)!=EOF)
    {
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        memset(lastmax, 0, sizeof lastmax); 
        int maxx;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=1; i<=m; i++)  //在第i層循環中，lastmax[j]是指第j個元素前的劃分成i-1份的最大的sum
        {
            maxx = -inf;
            for(int j=i; j<=n; j++)  //要分成i組則至少需要i個數，所以j從i開始循環
            {
                dp[j] = max(dp[j-1]+a[j], lastmax[j-1]+a[j]);
                lastmax[j-1] = maxx; //只能更新以前一個數結尾的lastmax（因爲當前數的lastmax要在下一輪迭代中要用來更新dp
                //所以還必須在當前層dp更新完後更新）
                maxx = max(dp[j], maxx); //該語句不可與上行語句交換位置
            }
        }
        cout << maxx << endl; //此時maxx存儲的即爲最後一次劃分（m份）的最大值
    }
    return 0;
}