最長遞增子序列（LIS）的三種算法

最長遞增子序列：給定一個長度爲N的數組，找出一個最長的單調遞增子序列，子序列不一定連續，但初始順序不能亂。
比如數組A={1,3,4,2,5}，其最長遞增子序列爲1,3,4,5

方法一：最長公共子序列法

對於給定長度爲N的數組A：

1. 使數組B爲排序後的數組A (O(NlogN))
2. 求出A與B的最長公共子序列(LCS) (O(N²))
3. 對求得的公共子序列進行去重 (O(N))

例如：A = {1,3,5,4,4,6}
則B = {1,3,4,4,5,6}
最長公共子串C = {1,3,4,4,6}
對C去重得到結果：{1,3,4,6}

方法二：動態規劃法(O(N²))

• 狀態$dp[i]$：以第i個數結尾的最長遞增子序列的長度
• 狀態方程：$dp[i] = dp[j]+1$ 其中 $a[j] < a[i]，j < i$且 $dp[j]$ 最大。若沒有滿足的a[j]則$dp[i]=1$
• 最後max(dp)即爲最長遞增子序列的長度
• 若要求得最長遞增子序列，可以用另外的數組lastidx記錄上述的“j”

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
	int a[6] = {1,3,5,4,4,6};
	int dp[6],lastidx[6];
	for(int i = 0;i < 6;i++)
	{
		dp[i] = 1; lastidx[i] = i;
		for(int j = 0;j < i;j++)
		{
			if(a[j] < a[i] && dp[j] + 1 > dp[i])
			{
				dp[i] = dp[j] + 1;
				lastidx[i] = j;
			}
		}
	}
	int maxx = 0, maxi = 0;
	for(int i = 0;i < 6;i++)
		if(dp[i]>maxx)
		{
			maxx = dp[i];
			maxi = i;
		}
	int lis[6];
	for(int i=maxx-1;i>0;i--)
	{
		lis[i] = a[maxi];
		maxi = lastidx[maxi];
	}
	cout << "最長公共子串長度：" << maxx << endl;
	for(int i=0;i<maxx;i++)
		cout << lis[i] << " ";
	return 0;
}

輸出結果爲：

最長公共子串長度：4
1 3 5 6

方法三：O(NlogN)算法

對於給定長度N的數組a，聲明數組last[N]，last[i]的意義爲：長度爲i的遞增子序列的最後一個數字，在循環數組a時更新這個數組。

比如{1,3,5,4,4,8,6,7}

a[0] = 1, 則長度爲1的LIS爲1，則last[1] = 1 , len = 1;

a[1] = 3, 3大於此前的最後一位1，故目前的最長的LIS可以爲2了，故last[2] = 3, len = 2；

a[2] = 5, 同理，last[3] = 5 , len = 3;

a[3] = 4, 其可以加在5和3之間，所以可以把5替換掉，即last[3] = 4;

a[4] = 4,與last[3]相等了，所以不做變動。

a[5] = 8,比最後一位（5）大，所以last[4] = 8, len = 4;

a[6] = 6,在5和8中間，所以last[4] = 6;

a[7] = 7, 比最後一位6大，所以last[5] = 7, len =5;

最終得到結果LIS長度爲：5，last數組爲：1,3,4,6,7

注意last數組並不一定是LIS，而是對應長度的LIS的最後一位。
而注意到last數組往往是有序的，所以數組元素只有替換而沒有挪動，故每次插入只要用二分查找即可。因此複雜度爲O(N logN)

• 若想得到最長遞增子序列，同樣可以使用數組lastidx和pre，用來標識至此爲止該長度的LIS的最後一個數的下標和當前數字的來源

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define maxn 8

int main()
{
	int a[maxn] = {1,3,5,4,4,8,6,7};
	int last[maxn], lastidx[maxn], pre[maxn], len=0, maxi;
	memset(last,0x3f,sizeof last);
	last[0] = -inf;
	for(int i=0;i<maxn;i++)
    {
        int pos = lower_bound(last, last+maxn, a[i])-last; //二分查找
        last[pos] = a[i];
        lastidx[pos] = i; //該長度的LIS的最後一個數的下標
        pre[i] = lastidx[pos-1]; //當前數字的來源（LIS中的前一位，即lastidx[長度-1]）
        if(pos >= len)
        {
            len = pos;
            maxi = i; //LIS最後一個數字的下標
        }
    }
    int lis[maxn];
	cout << "最長公共子串長度：" << len << endl;
	for(int i=len-1;i>=0;i--)
    {
        lis[i] = a[maxi];
        maxi = pre[maxi];
    }
    for(int i=0;i<len;i++)
        cout << lis[i] << " ";
	return 0;
}

輸出：

最長公共子串長度：5
1 3 4 6 7