2020.02.06日常總結——樹上問題

$\color{green}{樹上dp}$

• 顧名思義，即樹上的dp問題。
• 有兩種轉移方式：一是從根轉移到葉子，二是從葉子轉移到根。在實際應用中，從葉子轉移到根的方式應用的更多。
• 樹上dp在實現起來的時候，可能需要配合貪心等其它高效的算法，甚至於線段樹等高效數據結構。
• 代碼實現起來的時候，常常用遞歸實現，因爲樹的定義就是遞歸定義的。同時，一定要注意不要從一個點又轉移回了它的父親，否則，一定會TLE。
• 因爲樹的點數$n$經常是$10^5$級別的，所以一定要注意long long。

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$\color{green}{基環樹}$

$\color{blue}{【基礎知識】：}$

• 基環樹是一種特殊的圖的結構。它由$n$個點和$n$條邊組成，不僅全圖強聯通，而且只有一個環。
• 根據樹的特點和基環樹的定義，我們可以發現基環樹就是一棵樹在加一條邊。這是基環樹很重要的一個性質。
• 所以，一般解決基環樹上問題時，我們需要找到環上一邊，如何把它斷掉，轉化爲樹來求解。

$\color{blue}{【如何找環】：}$

$\color{orange}{對於無根樹：}$

首先，像普通的樹一樣，從根到葉子訪問，訪問時記錄每個點的父親。

假設我們正在枚舉點$u$，枚舉與u所有的相鄰的點$v$，如果$v$已訪問且$v$不是$u$的父親，那麼$(u,v)$就是環上的一邊。

注意，這種方法只能找一條，且時間複雜度爲$O(n+m)$。

$\color{orange}{對於有根樹：}$

我們可以隨便指定一個頂點$u$，從它開始，如果一個點$v$的$fa$沒有被標記，我們先標記$fa(v)$，如果將$v$記爲$fa(v)$。

不斷重複如上的算法，直到某個點$t$的$fa(t)$已經被標記，那麼$(fa(t),t)$就是環上的一邊。

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$\color{green}{實例——洛谷P2607\ \ \ 騎士 }$

$\color{blue}{【題意】：}$ Z國的騎士團是一個很有勢力的組織，幫會中匯聚了來自各地的精英。他們劫富濟貧，懲惡揚善，受到社會各界的讚揚。

最近發生了一件可怕的事情，邪惡的Y國發動了一場針對Z國的侵略戰爭。戰火綿延五百里，在和平環境中安逸了數百年的Z國又怎能抵擋的住Y國的軍隊。於是人們把所有的希望都寄託在了騎士團的身上，就像期待有一個真龍天子的降生，帶領正義打敗邪惡。

騎士團是肯定具有打敗邪惡勢力的能力的，但是騎士們互相之間往往有一些矛盾。每個騎士都有且僅有一個自己最厭惡的騎士（當然不是他自己），他是絕對不會與自己最厭惡的人一同出征的。

戰火綿延，人民生靈塗炭，組織起一個騎士軍團加入戰鬥刻不容緩！國王交給了你一個艱鉅的任務，從所有的騎士中選出一個騎士軍團，使得軍團內沒有矛盾的兩人（不存在一個騎士與他最痛恨的人一同被選入騎士軍團的情況），並且，使得這支騎士軍團最具有戰鬥力。

爲了描述戰鬥力，我們將騎士按照$1$至$N$編號，給每名騎士一個戰鬥力的估計，一個軍團的戰鬥力爲所有騎士的戰鬥力總和。

$\color{blue}{【思路】：}$ 我們把每個騎士和他最痛恨的騎士之間連一條邊，並把他最痛恨的騎士作爲他的“父親”。不難發現，這個模型是一棵有向基環樹。

所以，我們枚舉環上的邊，把它斷開，轉化爲樹。用類似沒有上司的舞會的$dp$方法就可以完成。

注意數組別開太多，否則任意$MLE$。注意常數不要太大，否則任意$TLE$。

$\color{blue}{【代碼】：}$

const int N=1e6+100;
#define ll long long
struct node{
	int next,to;
}e[N];int h[N],tot,n,fa[N];
inline void add(int a,int b){
	e[++tot]=(node){h[a],b};h[a]=tot;
}
int profit[N];ll f[N][2],ans;bool visit[N];
void dp(int u,int fa,int root){
	f[u][1]=profit[u];visit[u]=true;
	for(int i=h[u];i;i=e[i].next){
		register int to=e[i].to;
		if (to==root) continue;
		dp(to,u,root);f[u][1]+=f[to][0];
		f[u][0]+=max(f[to][0],f[to][1]);
	}
}
inline ll calc(int u){
	memset(f,0,sizeof(f));
	dp(u,-1,u);return f[u][0];
}

void find_circle(int u){
	visit[u]=true;int root=u;
	while (!visit[fa[root]]){
		visit[fa[root]]=true;
		root=fa[root];
	}
	ans+=max(calc(root),calc(fa[root]));
}
inline void initialization(){
	memset(visit,0,sizeof(visit));
	memset(profit,0,sizeof(profit));
	memset(h,0,sizeof(h));ans=tot=0;
}
int main(){
//	freopen("t1.in","r",stdin);
	n=read();initialization();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		profit[i]=read();
		add(fa[i]=read(),i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if (!visit[i]) find_circle(i);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}