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時間複雜度的定義
一般情況下，算法中基本操作重複執行的次數是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，若有某個輔助函數f(n)，使得當n趨近於無窮大時，T(n)/f(n)的極限值爲不等於零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記作T(n)=O(f(n))，稱O(f(n))爲算法的漸進時間複雜度(O是數量級的符號)，簡稱時間複雜度。
根據定義，可以歸納出基本的計算步驟
1. 計算出基本操作的執行次數T(n)
基本操作即算法中的每條語句（以;號作爲分割），語句的執行次數也叫做語句的頻度。在做算法分析時，一般默認爲考慮最壞的情況。
2. 計算出T(n)的數量級
求T(n)的數量級，只要將T(n)進行如下一些操作：
忽略常量、低次冪和最高次冪的係數
令f(n)=T(n)的數量級。
3. 用大O來表示時間複雜度
當n趨近於無窮大時，如果lim(T(n)/f(n))的值爲不等於0的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記作T(n)=O(f(n))。
常用示例
O(1)
交換i和j的內容
temp=i;
i=j;
j=temp;
以上三條單個語句的頻度爲1，該程序段的執行時間是一個與問題規模n無關的常數。算法的時間複雜度爲常數階，記作T(n)=O(1)。如果算法的執行時間不隨着問題規模n的增加而增長，即使算法中有上千條語句，其執行時間也不過是一個較大的常數。此類算法的時間複雜度是O(1)。
O(n2)
sum=0； /* 執行次數1 */
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
sum++； /* 執行次數n2 */
解：T(n) = 1 + n2 = O(n2)
for (i=1;i<n;i++)
{
y=y+1; ①
for (j=0;j<=(2*n);j++)
x++; ②
}
解： 語句1的頻度是n-1
語句2的頻度是(n-1)*(2n+1) = 2n2-n-1
T(n) = 2n2-n-1+(n-1) = 2n2-2
f(n) = n2
lim(T(n)/f(n)) = 2 + 2*(1/n2) = 2
T(n) = O(n2).
O(n)
a=0;
b=1; ①
for (i=1;i<=n;i++) ②
{
s=a+b; ③
b=a; ④
a=s; ⑤
}
解： 語句1的頻度：2,
語句2的頻度：n,
語句3的頻度：n,
語句4的頻度：n,
語句5的頻度：n,
T(n) = 2+4n
f(n) = n
lim(T(n)/f(n)) = 2*(1/n) + 4 = 4
T(n) = O(n).
O(log2n)
i=1; ①
while (i<=n)
i=i*2; ②
解： 語句1的頻度是1,
設語句2的頻度是t, 則：nt<=n; t<=log2n
考慮最壞情況，取最大值t=log2n,
T(n) = 1 + log2n
f(n) = log2n
lim(T(n)/f(n)) = 1/log2n + 1 = 1
T(n) = O(log2n)
O(n3)
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<i;j++)
{
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;
}
}
解：當i=m, j=k的時候,內層循環的次數爲k當i=m時, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以這裏最內循環共進行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i從0取到n, 則循環共進行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/2次
T(n) = n(n+1)(n-1)/2 = (n3-n)/2
f(n) = n3
所以時間複雜度爲O(n3)。
複雜情況的分析
以上都是對於單個嵌套循環的情況進行分析，但實際上還可能有其他的情況，下面將例舉說明。
1.並列循環的複雜度分析
將各個嵌套循環的時間複雜度相加。
例如：
for (i=1; i<=n; i++)
x++;
for (i=1; i<=n; i++)
for (j=1; j<=n; j++)
x++;
解：
第一個for循環
T(n) = n
f(n) = n
時間複雜度爲Ο(n)
第二個for循環
T(n) = n2
f(n) = n2
時間複雜度爲Ο(n2)
整個算法的時間複雜度爲Ο(n+n2) = Ο(n2)。
2.函數調用的複雜度分析
例如：
public void printsum(int count){
int sum = 1;
for(int i= 0; i<n; i++){
sum += i;
}
System.out.print(sum);
}
分析：
記住，只有可運行的語句纔會增加時間複雜度，因此，上面方法裏的內容除了循環之外，其餘的可運行語句的複雜度都是O(1)。
所以printsum的時間複雜度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)
*這裏其實可以運用公式 num = n*(n+1)/2，對算法進行優化，改爲：
public void printsum(int count){
int sum = 1;
sum = count * (count+1)/2;
System.out.print(sum);
}
這樣算法的時間複雜度將由原來的O(n)降爲O(1)，大大地提高了算法的性能。
3.混合情況（多個方法調用與循環）的複雜度分析
例如：
public void suixiangMethod(int n){
printsum(n);//1.1
for(int i= 0; i<n; i++){
printsum(n); //1.2
}
for(int i= 0; i<n; i++){
for(int k=0; k
System.out.print(i,k); //1.3
}
}
suixiangMethod 方法的時間複雜度需要計算方法體的各個成員的複雜度。
也就是1.1+1.2+1.3 = O(1)+O(n)+O(n2) ----> 忽略常數 和 非主要項 == O(n2)