劍指Offer #06 旋轉數組的最小數字（二分查找）| 圖文詳解

題目來源：牛客網-劍指Offer專題
題目地址：旋轉數組的最小數字

題目描述

把一個數組最開始的若干個元素搬到數組的末尾，我們稱之爲數組的旋轉。
輸入一個非遞減排序的數組的一個旋轉，輸出旋轉數組的最小元素。
例如數組{3,4,5,1,2}爲{1,2,3,4,5}的一個旋轉，該數組的最小值爲1。
NOTE：給出的所有元素都大於0，若數組大小爲0，請返回0。

題目解析

方法一：
最直觀的方法莫過於漠視題目給的條件“非遞減排序”，直接遍歷整個數組找到裏面最小的元素。就算我很菜，也不忍下手寫這樣的代碼。

於是，對暴力法稍加優化纔有了第一種算法：以第一個元素 $array[0]$ 爲基準找到第一個比它小的元素，這個就是原數組的第一個元素，即最小值。找不到則返回第一個元素，說明沒有元素參與旋轉。
雖然做了優化，在極端情況下還是要遍歷整個數組，時間複雜度 $O(n)$。

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public int minNumberInRotateArray(int [] array) {
    	//特判
        if (array.length == 0) {
            return 0;
        }
        //以第一個元素爲基準
        int flag = array[0];
        for (int i = 1; i < array.length; i++) {
        	//找到第一個比它小的元素，即爲答案
            if (flag > array[i]) {
                return array[i];
            }
        }
        return flag;
    }
}

方法二：
通常在有序的序列中查找某個值的問題都可以用二分查找，本題雖然不是整個序列又是有序的，但是它也算是局部有序，也可以用上二分查找。

經過觀察我們可以發現，旋轉數組可以分成左右兩個部分，而我們要找的數就在分界線的右邊。算法描述如下：

• 首先，我們設定左右指針 $left$ 和 $right$ ，然後通過判斷中間指針 $mid$ 指向的數是否比 $right$ 指向的數小。
• 如果是，則說明 $mid$ 位於數組右邊部分，於是將 $right$ 指針移動到該位置上；否則，說明 $mid$ 位於數組左邊部分，於是將指針移動到該位置上。
• 最後不斷重複上訴過程，直到找到數組兩個部分的邊界所在，即 $right-left=1$。這時，$array[right]$ 就是我們要找的最小值。
  

二分查找的過程如上圖所示 ，算法時間複雜度爲 $O(logn)$。

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public int minNumberInRotateArray(int [] array) {
        if (array.length == 0) {
            return 0;
        }
        int left = 0, right = array.length - 1;
        while (array[left] >= array[right]) {
            int mid = (left + right) / 2;
            //找到邊界所在
            if (right - left == 1) break;
            if (array[mid] < array[right]) {
                right= mid;
            } else {
                left= mid;
            }
        }
        return array[right];
    }
}

雖然這樣在牛客網中通過了，但是我發現了一組可以hack這份代碼的數據：
$[3,4,1,3,3,3,3]$
正確答案： $1$
代碼返回： $3$

方法三：
有問題就肯定會有對策，這裏借用牛客網大佬FINACK的思路。

分下面三種情況進行討論：

1. array[mid] > array[right]時，
   出現這種情況的array類似[3,4,5,6,0,1,2]，此時最小數字一定在mid的右邊。
   $\therefore$ left = mid + 1
2. array[mid] == array[right]時，
   出現這種情況的array類似 [1,0,1,1,1] 或者[1,1,1,0,1]，此時最小數字不好判斷在mid左邊還是右邊，這時只好逐個嘗試。
   $\therefore$ right = right - 1
3. array[mid] < array[right]:
   出現這種情況的array類似[2,2,3,4,5,6,6]，此時最小數字一定就是array[mid]或者在mid的左邊。因爲右邊必然都是遞增的。
   $\therefore$ right = mid

注意這裏有個坑：如果待查詢的範圍最後只剩兩個數，那麼mid 一定會指向下標靠前的數字，比如 array = [4,6]，此時array[left] = 4 ；array[mid] = 4；array[right] = 6；如果right = mid - 1，就會產生錯誤， 因此right = mid。

import java.util.ArrayList;
public class Solution {
    public int minNumberInRotateArray(int [] array) {
        if (array.length == 0) {
            return 0;
        }
        int left = 0, right = array.length - 1;
        while (left < right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (array[mid] > array[right]) {
                left = mid + 1;
            } else if (array[mid] == array[right]) {
                right--;
            } else {
                right = mid;
            }
        }
        return array[left];
    }
}

只是可惜，在所有數字都一樣的情況下，算法的時間複雜度會退化成 $O(n)$。當然，這是沒有辦法的事情。

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