L2-004 這是二叉搜索樹嗎？-團體程序設計天梯賽GPLT

題目來源：團體程序設計天梯賽-練習集
題目地址：L2-004 這是二叉搜索樹嗎？

題目大意

給定一個長度爲 $n$ 的序列，判斷這是否是對一棵二叉搜索樹或其鏡像進行前序遍歷的結果。如果是，則在一行中輸出 YES ，然後在下一行輸出該樹後序遍歷的結果，否者直接輸出 NO。

題目分析

1. 預備知識
前序遍歷：先訪問根節點，再遍歷左子樹，最後遍歷右子樹。

後序遍歷：先遍歷左子樹，再遍歷右子樹，最後訪問根節點。
（注意：遍歷子樹的時候也要按照相應的的方式遍歷。）

二叉搜索樹的基本性質（如題目描述所示）

2. 結題要義
首先，我們假設輸入的序列 $a[\ ]$ 就是一棵二叉搜索樹進行前序遍歷的結果，$l$ 和 $r$ 分別爲序列 $a[\ ]$ 的左右邊界。

根據前序遍歷的性質，我們可以知道 $a[l]$ 即爲這棵樹的根節點、 $l+1$ 爲左子樹的左邊界， $r$ 爲右子樹的右邊界。然後我們定義兩個指針 $tl$ 、$tr$ 分別表示右子樹的左邊界、左子樹的右邊界。（注意哪個對應哪個）

初始化 $tl = l+1$ 、$tr=r$，接着根據二叉樹搜索樹的性質 ，$tl$ 往右移動，找到第一個大於或等於根節點 $a[l]$ 的節點、$tr$往右移動，找到第一個小於根節點 $a[l]$ 的節點。過程如下圖所示，

這樣就確定了序列中根節點、左子樹和右子樹的位置，我們遞歸進行這個這個過程，就可以得到整棵樹的結構，過程如下圖所示：

爲了簡便，我們可以省去建樹的過程，在確定了序列中根節點、左子樹和右子樹的位置後，就直接進行後序遍歷。由確定子樹範圍的過程可得，若這是一顆二叉搜索樹，則必有 $tl-tr=1$ ，要是不滿足這個條件，我們就直接停止遍歷。

訪問根節點時，我們可以將根節點放入 $vector$ 中（$vector$即爲後序遍歷序列）。最後我們通過判斷 $vector$ 中的元素個數是否等於 $n$ 來判斷這是否爲二叉搜索樹。

如果等於 $n$ ，就可以輸出 $vector$ ；否則就判斷是否爲鏡像。至於求判斷鏡像的過程也基本和上訴無異，區別在於確定子樹範圍的條件而已。

代碼如下

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn = 1e3 + 10;
int n, flag;
/**
  * a[]用於存儲輸入的前序遍歷序列
  * ans用於存儲後序遍歷的結果
  */
int a[maxn];
vector<int> ans;

/**
  * 後序遍歷這顆二叉樹
  *
  */
void dfs(int l, int r) {
    if (l > r) return ;
    //tl表示右子樹的左邊界，tr表示左子樹的右邊界
    int tl = l + 1, tr = r;
    if (flag) {
        //判斷二叉搜索樹的“鏡像”
        while (tl <= r && a[tl] >= a[l]) tl++;
        while (tr > l && a[tr] < a[l]) tr--;
    } else {
        //判斷二叉搜索樹
        while (tl <= r && a[tl] < a[l]) tl++;
        while (tr > l && a[tr] >= a[l]) tr--;
    }
    //不滿足二叉搜索樹的條件
    if (tl - tr != 1) return ;
    //訪問左子樹
    dfs(l + 1, tr);
    //訪問右子樹
    dfs(tl, r);
    //訪問根節點
    ans.push_back(a[l]);
}


int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    //先檢查是不是二叉搜索樹的“鏡像”
    dfs(1, n);
    //如果不滿足，則再檢查是不是二叉搜索樹
    if (ans.size() != n) {
        flag = 1;
        ans.clear();
        dfs(1, n);
    }
    if (ans.size() != n) {
        cout << "NO" << endl;
    } else {
        cout << "YES" << endl;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cout << ans[i] << (i == n -1 ? '\n' : ' ');
        }
    }
    return 0;
}

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