劍指Offer #08 跳臺階（遞推）

題目來源：牛客網-劍指Offer專題
題目地址：跳臺階

題目描述

一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法（先後次序不同算不同的結果）。

題目解析

這是一道經典的遞推題目，你可以想如果青蛙當前在第n級臺階上，那它上一步是在哪裏呢？

顯然，由於它可以跳1級臺階或者2級臺階，所以它上一步必定在第n-1,或者第n-2級臺階，也就是說它跳上n級臺階的跳法數是跳上n-1和跳上n-2級臺階的跳法數之和。

設跳上 $i$ 級臺階有 $f(n)$ 種跳法，則它跳上n級的臺階有 $f(n)=f(n-1) + f(n-2)$ 種跳法。

然後，我們又思考初始（$n-2\leq0$）的情況，跳上1級臺階只有1種跳法，跳上2級臺階有2種跳法，最終我們得到如下的遞推式：

$f(n)= \begin{cases} 1&, \text{n=1} \\ 2 &,\text{n=2} \\ f(n-1) + f(n-2) &,\text{n>2} \end{cases}$
這個遞推式和 $Fibonacci$比較相似，這裏就簡單寫常用的兩種實現方式，詳情可以參考上篇博客解法：斐波那契數列（四種解法）。

方法一：
面試別寫型遞推版實現，時間複雜度 $O(2^2)$。

public class Solution {
    public int JumpFloor(int n) {
        if (n == 1) return 1; 
        if (n == 2) return 2;
        return JumpFloor(n - 1) + JumpFloor(n - 2);
    }
}

方法二：
面試推薦型，自底向上型循環求解，時間複雜度爲 $O(n)$。

public class Solution {
    public int JumpFloor(int target) {
        int a = 1, b = 1;
        for (int i = 1; i < target; i++) {
            a = a + b;
            b = a - b;
        }
        return a;
    }
}

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