數據結構——最小生成樹

一、相關概念

1. 連通圖：圖中的任意兩個節點之間都是聯通的，即：總能從A節點按照一定路徑走到B節點。
2. 生成樹：爲聯通圖的一個聯通子圖，包含N個結點和N-1條邊。
3. 最小生成樹：當聯通圖中的每條邊帶有權值時，所有邊權值和最小的生成樹。

二、問題導向

    各個城市之間修建鐵路，城市之間鋪設電纜、水管等，不考慮環境等複雜因素，肯定最小生成樹對應的權值（對應管線、鐵路等長度）和最小怎樣才能成本最低。因此如何鋪設的問題轉化成了找到這個最小生成樹的問題。如下圖(A~F表示城市，線上的數字表示距離)：

三、相關算法

注：正常情況下沒有辦法一眼看出來該如何選擇的，如果更復雜一點的話就更難用眼睛看出來的了，因此面對該問題需要有響應的算法來解決。聽着很高端、實際實現的代碼邏輯很複雜，但是懂了思想理解起來很容易。
最終目的： 找到我們想要的N-1條線。

Prim算法：

通俗理解：

1. 任意選擇一個結點開始（從此已有結點多了一個0到1）
2. 從已有的結點中，找與已有結點和剩下的結點連線權限最小的那個
3. 迭代重複第二步，直到所有結點都被連接。此時剛哈N-1條邊。

舉例： 假設以A爲第一個點，我們依次被連接的頂點順序爲：A->F->E->D->C->B，邊被選擇的順序爲：4、2、3、4、3。步驟爲紅色12345的順序。

Kruskal算法：

通俗理解：

1. 從所有的邊中找最短的邊
2. 保證，所有的邊連起來不能構成環路，如果構成環路則選擇次小的邊、或者次次小的邊，
3. 按照第二部的要求，重複第一步的過程，直到所有的結點被連接。

舉例： 依次被選擇的邊：2(EF)->3(D)->3(BC)->4(A)->4。步驟爲紅色12345的順序。

  
  
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