HJQ巨佬のTwelveFold Way 手稿電子版

心中滿懷着對HJQ巨佬的無限敬仰，把HJQ巨佬的tfw手稿敲成了電子版，在內容和排版上基本上遵從了巨佬筆記的原樣 —— cppascalinux 的小迷弟 GGN_2015

$n$ 個球放入 $m$ 個盒的方案數 ($A \to B$的映射數，$|A|=n, |B|=m$)

定義了一些標記：

1.無限制
2 B中每個元素至多一個原象(每個盒子至多一個球)
3.B中每個元素至少一個原象(每個盒子至少一個球)

a. 球、盒都有編號（有一對對應不同即視爲不同）（直接比較）
b. 球有編號、盒無編號（每個象對應原象集合所構成的集合不同視爲不同）（排序比較）
c.球無編號、盒有編號（每個象對應的原象個數構成的數列不同視爲不同）（比較球的個數）
d.球、盒均無編號（每個象對應的原象個數構成的可重集合不同視爲不同的映射）（比較球的個數（排序後的））

	a	b	c	d
1	$m^n$	$\sum_{i=0}^mS_n^i$	$C_{n+m-1}^{m-1}$	$P_m(m+n)$
2	$C_m^n\cdot n!$	$[n \leq m]$	$C_m^n$	$[n\leq m]$
3	$S_n^m\cdot m!$	$S_n^m$	$C_{n-1}^{m-1}$	$P_m(n)$

注：

$S_n^m$：第二類斯特林數：將大小爲$n$的集合劃分爲$m$個非空集合構成的集合的方案數。

$P_m(n)$：整數拆分數：將整數$n$拆分成$m$個正整數之和的方案數。

$[ \space \space \space]$：艾弗森括號：括號內條件爲真即爲$1$，爲假即爲$0$。

感謝 HJQ 巨佬，以下是原圖。