快速冪（二分法，位運算）

題目鏈接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1226

對於這個問題，當然可以將p個b相乘，但是p的上限是2³¹，而算法的時間複雜度爲O§，承受不了這麼大的規模。

快速冪

想弄清本題算法，需要先了解取模（求餘）運算的一些性質，比如：

遞歸實現

遞歸的思想就是利用二分法。它基於如下事實：
(1)如果p是奇數，那麼有b^p=b*b^p-1
(2)如果p是偶數，那麼有b^p=b^p/2*b^p/2
且臨界值b⁰=1.
注意：不能直接寫成return binaryPow(b,p/2,k)*binaryPow(b,p/2,k)%k;，這樣的話時間複雜度爲O(2^logp)=O( p )。

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
using namespace std;
LL binaryPow(LL b,LL p,LL k){
	if(p==0) return 1;
	if(p&1==1) return b*binaryPow(b,p-1,k)%k;
	LL mul=binaryPow(b,p/2,k);
	return mul*mul%k;
	//return binaryPow(b,p/2,k)*binaryPow(b,p/2,k)%k;   這麼寫可不行 
}
int main() {
	LL b,p,k;cin>>b>>p>>k;
	printf("%lld^%lld mod %lld=%lld",b,p,k,binaryPow(b,p,k)%k);  //由於p==0時函數沒有對其進行取餘操作，所以在這裏加一句取餘比較保險
	return 0;
}

非遞歸算法

如果把p寫成二進制，那麼b就可以寫成若干二次冪之和，例如13的二進制是1101，於是13=2³+2²+2⁰=8+4+1，所以b¹³=a⁸*a⁴*a¹.
類似的，對於任意a^b，它可以表示爲a^2k,…,a⁴,a²,a¹中若干項的成績。其中，若b的二進制i號位位1，則a²ⁱ就被選中。

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
using namespace std;
int main() {
	LL b,p,k;cin>>b>>p>>k;
	printf("%lld^%lld mod %lld=",b,p,k);
	LL ans=1;
	while(p>0){
		if(p&1==1){
			ans=ans*b%k;
		}
		b=b*b%k;
		p>>=1;
	}
	printf("%lld",ans%k);
	return 0;
}