6508. 【GDOI2020模擬03.11】我的朋友們

題目

有一個長度爲$n$的數列$a_i$，一開始將數列的前$L$個丟入隊列中。
一次操作是對於隊列中的每個數$a_i$，有$a_i$的機率有$1$的貢獻。設貢獻和爲$x$。
然後將隊列中前$x$個彈出去，再從數列中接着$x$個。
如果數列中的數取完了，操作停止。
問期望進行多少次操作。

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思考歷程

一開始就看錯了題意，於是這就變成的了一道神仙題。
只想到了$a_i$相等的情況。
由於時間不夠，寫出來之後調都不調就交了。
結果自然是爆0。
（話說我在寫這個東西的時候沒有用分治NTT……不知道是我的方法錯了，還是確實能不用分治NTT……）

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正解

設$f_i$爲當前隊列中的數在$[i,i+L)$中的期望。
轉移十分顯然，這裏就不寫了。
直接暴力轉移肯定不能過，接下來就是在這個東西的基礎上優化。

把整個序列倒過來做，$f_i$就變成了當前隊列中的數在$(i-L,i)$中的期望。
設$P_i=\prod_{j=i-L+1}^i (1-a_j+a_jx)$
隨便推一推得：
$f_i=\frac{1+\sum_{j=1}^Lf_{i-j}[x^j]P_i}{1-[x^0]P[i]}$
接下來問題是處理$\sum_{j=1}^Lf_{i-j}[x^j]P_i$，其它的都很好辦。
設$F_i=\sum_{j=L}^if_jx^j$
於是$\sum_{j=1}^Lf_{i-j}[x^j]P_i=[x^i](F_{i-1}P_i)$
這下就好看很多了。

考慮分治NTT。假如現在要計算區間$[l,r]$的答案。
對於每個$i\in[l,r]$，我們把$P_i$的公因數提取出來，就是$\prod_{j=r-L+1}^l(1-a_j+a_jx)$
設$F_{l,r}^{'}=F_{l-1}\prod_{j=r-L+1}^l(1-a_j+a_jx)$，這就是前面$[1,l-1]$區間對每一個$i\in [l,r]$共有的貢獻，可以一起算。
$[x^i]F_{i,i}^{'}$就是對$f_i$的貢獻。
考慮如何從$F_{l,r}^{'}$轉移至$F_{l,mid}^{'}$和$F_{mid+1,r}^{'}$
$F_{l,mid}^{'}=F_{l-1}\prod_{j=mid-L+1}^l(1-a_j+a_jx)\\=F_{l,r}^{'}\prod_{j=mid-L+1}^{r-L}(1-a_j+a_jx)$
$F_{mid+1,r}^{'}=F_{mid}\prod_{j=r-L+1}^{mid+1}(1-a_j+a_jx)\\=F_{l,r}^{'}\prod_{j=l+1}^{mid+1}(1-a_j+a_jx)+(\sum_{i=l}^{mid}f_ix^i)\prod_{j=r-L+1}^{mid+1}(1-a_j+a_jx)$
上面式子中的那堆連乘都是可以用分治NTT預處理的。
看起來這個東西並沒有優秀到哪裏去啊……

我們想要求的，僅僅是$[x^i]F_{i,i}^{'}$
對於$F_{l,r}^{'}$，如果它一直轉移到了葉子節點，那麼乘上的多項式的次數是$O(r-l)$級別的。
我們最終只要對$i\in [l,r]$的所有$i$有用的項，這意味着有些次數很小的項，他們次數增高$O(r-l)$之後依然不會對任何$i\in[l,r]$的$i$產生影響，這個項就是沒用的。
對於沒用的項，那就可以忽略不計。
所以，只需要存最後$O(r-l)$項就可以了。題解說標程存了最後$2(r-l+1)$項。

於是這題就做完了，時間複雜度$O(n \lg^2 n)$。

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總結

一個晚上，兩個小時思考，再加一個小時寫博客整理思路。
這種到現在pty都沒有AC的題目，我不知道寫出來要多長時間。
就先把題解晾在這裏好了……

這題的精髓，除了亂推一波式子以外，我認爲是最後的那個保留最後幾項的那個操作。
我終於明白了原來分治NTT還能這麼搞。