《數據結構與算法之美》學習筆記(3) 數據結構

數組

數組定義：

數組（Array）是一種線性表數據結構。它用一組連續的內存空間，來存儲一組具有相同類型的數據。

這個定義裏有幾個關鍵詞。

第一是線性表（Linear List）。顧名思義，線性表就是數據排成像一條線一樣的結構。每個線性表上的數據最多隻有前和後兩個方向。除了數組，鏈表、隊列、棧等也是線性表結構。

而與它相對立的概念是非線性表，比如二叉樹、堆、圖等。之所以叫非線性，是因爲，在非線性表中，數據之間並不是簡單的前後關係。

第二個是連續的內存空間和相同類型的數據。正是因爲這兩個限制，它纔有了一個堪稱“殺手鐗”的特性：“隨機訪問”。但有利就有弊，這兩個限制也讓數組的很多操作變得非常低效，比如要想在數組中刪除、插入一個數據，爲了保證連續性，就需要做大量的數據搬移工作。

在進行數組的插入、刪除操作時，爲了保持內存數據的連續性，需要做大量的數據搬移，所以時間複雜度是 O(n)。

鏈表

鏈表並不需要一塊連續的內存空間，它通過“指針”將一組零散的內存塊串聯起來使用。

三種最常見的鏈表結構，它們分別是：單鏈表、雙向鏈表和循環鏈表。

（1）單鏈表

首先來看最簡單、最常用的單鏈表。

每個鏈表的結點除了存儲數據之外，還需要記錄鏈上的下一個結點的地址。如圖所示，把這個記錄下個結點地址的指針叫作後繼指針 next。

把第一個結點叫作頭結點，把最後一個結點叫作尾結點。其中，頭結點用來記錄鏈表的基地址。有了它，就可以遍歷得到整條鏈表。而尾結點特殊的地方是：指針不是指向下一個結點，而是指向一個空地址 NULL，表示這是鏈表上最後一個結點。

針對鏈表的插入和刪除操作，只需要考慮相鄰結點的指針改變，所以對應的時間複雜度是 O(1)。鏈表隨機訪問的性能沒有數組好，需要 O(n) 的時間複雜度。

（2）循環鏈表

循環鏈表是一種特殊的單鏈表。實際上，循環鏈表也很簡單。它跟單鏈表唯一的區別就在尾結點。

單鏈表的尾結點指針指向空地址，表示這就是最後的結點了。而循環鏈表的尾結點指針是指向鏈表的頭結點。

和單鏈表相比，循環鏈表的優點是從鏈尾到鏈頭比較方便。當要處理的數據具有環型結構特點時，就特別適合採用循環鏈表。

（3）雙向鏈表

單向鏈表只有一個方向，結點只有一個後繼指針 next 指向後面的結點。而雙向鏈表，顧名思義，它支持兩個方向，每個結點不止有一個後繼指針 next 指向後面的結點，還有一個前驅指針 prev 指向前面的結點。

雙向鏈表需要額外的兩個空間來存儲後繼結點和前驅結點的地址。所以，如果存儲同樣多的數據，雙向鏈表要比單鏈表佔用更多的內存空間。雖然兩個指針比較浪費存儲空間，但可以支持雙向遍歷，這樣也帶來了雙向鏈表操作的靈活性。

相比單鏈表，雙向鏈表適合解決哪種問題呢？

從結構上來看，雙向鏈表可以支持 O(1) 時間複雜度的情況下找到前驅結點，正是這樣的特點，也使雙向鏈表在某些情況下的插入、刪除等操作都要比單鏈表簡單、高效。

而單鏈表的插入、刪除操作的時間複雜度已經是 O(1) 了，雙向鏈表還能再怎麼高效呢？

先來看刪除操作。

在實際的軟件開發中，從鏈表中刪除一個數據無外乎這兩種情況：

• 刪除結點中“值等於某個給定值”的結點；
• 刪除給定指針指向的結點。

對於第一種情況，不管是單鏈表還是雙向鏈表，爲了查找到值等於給定值的結點，都需要從頭結點開始一個一個依次遍歷對比，直到找到值等於給定值的結點，然後再通過指針操作將其刪除。

儘管單純的刪除操作時間複雜度是 O(1)，但遍歷查找的時間是主要的耗時點，對應的時間複雜度爲 O(n)。根據時間複雜度分析中的加法法則，刪除值等於給定值的結點對應的鏈表操作的總時間複雜度爲 O(n)。

對於第二種情況，已經找到了要刪除的結點，但是刪除某個結點 q 需要知道其前驅結點，而單鏈表並不支持直接獲取前驅結點，所以，爲了找到前驅結點，我們還是要從頭結點開始遍歷鏈表，直到 p->next=q，說明 p 是 q 的前驅結點。

但是對於雙向鏈表來說，這種情況就比較有優勢了。因爲雙向鏈表中的結點已經保存了前驅結點的指針，不需要像單鏈表那樣遍歷。所以，針對第二種情況，單鏈表刪除操作需要 O(n) 的時間複雜度，而雙向鏈表只需要在 O(1) 的時間複雜度內就搞定了！

同理，如果希望在鏈表的某個指定結點前面插入一個結點，雙向鏈表比單鏈表有很大的優勢。雙向鏈表可以在 O(1) 時間複雜度搞定，而單向鏈表需要 O(n) 的時間複雜度。

除了插入、刪除操作有優勢之外，對於一個有序鏈表，雙向鏈表的按值查詢的效率也要比單鏈表高一些。因爲，我們可以記錄上次查找的位置 p，每次查詢時，根據要查找的值與 p 的大小關係，決定是往前還是往後查找，所以平均只需要查找一半的數據。

（4）雙向循環鏈表

（5）鏈表 VS 數組性能大比拼

不過，數組和鏈表的對比，並不能侷限於時間複雜度。而且，在實際的軟件開發中，不能僅僅利用複雜度分析就決定使用哪個數據結構來存儲數據。

數組簡單易用，在實現上使用的是連續的內存空間，可以藉助 CPU 的緩存機制，預讀數組中的數據，所以訪問效率更高。而鏈表在內存中並不是連續存儲，所以對 CPU 緩存不友好，沒辦法有效預讀。

數組的缺點是大小固定，一經聲明就要佔用整塊連續內存空間。如果聲明的數組過大，系統可能沒有足夠的連續內存空間分配給它，導致“內存不足（out of memory）”。如果聲明的數組過小，則可能出現不夠用的情況。這時只能再申請一個更大的內存空間，把原數組拷貝進去，非常費時。鏈表本身沒有大小的限制，天然地支持動態擴容。

和數組相比，鏈表更適合插入、刪除操作頻繁的場景，查詢的時間複雜度較高。不過，在具體軟件開發中，要對數組和鏈表的各種性能進行對比，綜合來選擇使用兩者中的哪一個。

棧

（1）相關概念

從棧的操作特性上來看，棧是一種“操作受限”的線性表，只允許在一端插入和刪除數據。

當某個數據集合只涉及在一端插入和刪除數據，並且滿足後進先出、先進後出的特性，應該首選“棧”這種數據結構。

棧既可以用數組來實現，也可以用鏈表來實現。用數組實現的棧，我們叫作順序棧，用鏈表實現的棧，我們叫作鏈式棧。

不管是順序棧還是鏈式棧，我們存儲數據只需要一個大小爲 n 的數組就夠了。在入棧和出棧過程中，只需要一兩個臨時變量存儲空間，所以空間複雜度是 O(1)。

不管是順序棧還是鏈式棧，入棧、出棧只涉及棧頂個別數據的操作，所以時間複雜度都是 O(1)。

（2）棧的應用

• 棧在函數調用中的應用

  操作系統給每個線程分配了一塊獨立的內存空間，這塊內存被組織成“棧”這種結構, 用來存儲函數調用時的臨時變量。每進入一個函數，就會將臨時變量作爲一個棧幀入棧，當被調用函數執行完成，返回之後，將這個函數對應的棧幀出棧。

• 棧在表達式求值中的應用

• 棧在括號匹配中的應用

隊列

先進者先出，這就是典型的“隊列”。

棧只支持兩個基本操作：入棧 push()和出棧 pop()。隊列跟棧非常相似，支持的操作也很有限，最基本的操作也是兩個：入隊 enqueue()，放一個數據到隊列尾部；出隊 dequeue()，從隊列頭部取一個元素。

隊列跟棧一樣，也是一種操作受限的線性表數據結構。

（1）順序隊列和鏈式隊列

跟棧一樣，隊列可以用數組來實現，也可以用鏈表來實現。用數組實現的棧叫作順序棧，用鏈表實現的棧叫作鏈式棧。同樣，用數組實現的隊列叫作順序隊列，用鏈表實現的隊列叫作鏈式隊列。

順序隊列：

隊列需要兩個指針：一個是 head 指針，指向隊頭；一個是 tail 指針，指向隊尾。

結合下面這幅圖來理解。當 a、b、c、d 依次入隊之後，隊列中的 head 指針指向下標爲 0 的位置，tail 指針指向下標爲 4 的位置。

當我們調用兩次出隊操作之後，隊列中 head 指針指向下標爲 2 的位置，tail 指針仍然指向下標爲 4 的位置。

隨着不停地進行入隊、出隊操作，head 和 tail 都會持續往後移動。當 tail 移動到最右邊，即使數組中還有空閒空間，也無法繼續往隊列中添加數據了。

鏈式隊列：

同樣需要兩個指針：head 指針和 tail 指針。它們分別指向鏈表的第一個結點和最後一個結點。如圖所示，入隊時，tail->next= new_node, tail = tail->next；出隊時，head = head->next。

（2）循環隊列

剛纔用數組來實現隊列的時候，在 tail==n 時，會有數據搬移操作，這樣入隊操作性能就會受到影響。那有沒有辦法能夠避免數據搬移呢？我們來看看循環隊列的解決思路。

循環隊列，顧名思義，它長得像一個環。原本數組是有頭有尾的，是一條直線。現在我們把首尾相連，扳成了一個環。

圖中這個隊列的大小爲 8，當前 head=4，tail=7。當有一個新的元素 a 入隊時，我們放入下標爲 7 的位置。但這個時候，我們並不把 tail 更新爲 8，而是將其在環中後移一位，到下標爲 0 的位置。當再有一個元素 b 入隊時，我們將 b 放入下標爲 0 的位置，然後 tail 加 1 更新爲 1。所以，在 a，b 依次入隊之後，循環隊列中的元素就變成了下面的樣子：

通過這樣的方法，我們成功避免了數據搬移操作。看起來不難理解，但是循環隊列的代碼實現難度要比前面講的非循環隊列難多了。要想寫出沒有 bug 的循環隊列的實現代碼，最關鍵的是，確定好隊空和隊滿的判定條件。

在用數組實現的非循環隊列中，隊滿的判斷條件是 tail == n，隊空的判斷條件是 head == tail。那針對循環隊列，如何判斷隊空和隊滿呢？

隊列爲空的判斷條件仍然是 head == tail。

但隊列滿的判斷條件就稍微有點複雜了。

圖中畫的隊滿的情況，tail=3，head=4，n=8，所以總結一下規律就是：(3+1)%8=4。

當隊滿時，(tail+1)%n=head。

圖中的 tail 指向的位置實際上是沒有存儲數據的。所以，循環隊列會浪費一個數組的存儲空間。