簡述：
讓我們考慮一下沒有負邊的情況。在Bellman-Ford算法中，如果dp[i]還不是最短距離的話，那麼即使進行dp[j]=d[i]+(從I 到j的邊的權值)的更新，dp[j]也不會變成最短距離。而且，即使dp[i]沒有變化，每一次循環也要檢查-遍從出發的所有邊。這顯然是很浪費時間的。因此可以對算法做如下修改。
(1)找到最短距離已經確定的頂點，從它出發更新相鄰頂點的最短距離。
(2)此後不需要再關心1中的“最短距離已經確定的頂點”。
定義：
在(1)和(2)中提到的“最短距離已經確定的頂點”要怎麼得到是問題的關鍵。在最開始時，只有起點的最短距離是確定的。而在尚未使用過的頂點中，距離dp[i]最 小的頂點就是最短距離已經確定的頂點。這是因爲由於不存在負邊，所以dp[i]不會在之後的更新中變小。這個算法叫做Dijkstra算法。
優化一：
使用鄰接矩陣實現的Djkstra算法的複雜度是O(V^2)。使用鄰接表的話,更新最短距離只需要訪問
每條邊一次即可，因此這部分的複雜度是O(E)。但是每次要枚舉所有的頂點來查找下一個使用
的頂點，因此最終複雜度還是O(v^2)。在E比較小時，大部分的時間花在了查找下一個使用的頂
點上,因此需要使用合適的數據結構對其進行優化。首先想到了集合，使用vector來模擬集合即可。
實現：
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;//n個頂點m條邊
const int INF=1e9;
vector<vector<int>>mp(1003,vector<int>(1003,INF));
vector<int>dp(1003,INF);
vector<int>unused;
void Dijkstra(int s) {
dp[s]=0;
unused.resize(n);
for(int i=0; i<n; ++i)
unused[i]=i;
while(1) {
int v=-1;
for(int i=0; i<unused.size(); ++i)
if((v==-1||dp[unused[i]]<dp[v]))//在沒使用的頂點集中尋找離生成集合最近的點
v=unused[i];
if(v==-1)//若已沒有沒使用的點了，證明最短路徑已全部更新完畢
break;
unused.erase(find(unused.begin(),unused.end(),v));//加入找到的點到生成集合中
for(int i=0; i<unused.size(); ++i)
dp[unused[i]]=min(dp[unused[i]],dp[v]+mp[v][unused[i]]);//更新因該點而改變未使用的點的最小dp值
}
}
int main() {
cin>>n>>m;
for(int i=0; i<m; ++i) {
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
mp[a][b]=c;
mp[b][a]=c;
}
int s;
cin>>s;
Dijkstra(s);
for(int i=0; i<n; ++i)
cout<<dp[i]<<" ";
}
優化二：
需要優化的是數值的插入(更新)和取出最小值兩個操作，因此使用堆就可以了。把每個頂點當
前的最短距離用堆維護,在更新最短距離時,把對應的元素往根的方向移動以滿足堆的性質。而
每次從堆中取出的最小值就是下一次要使用的頂點。這樣堆中元素共有O(V)個，更新和取出數
值的操作有0(E)次，因此整個算法的複雜度是O(E *logV )。
下面是使用STL的priority_ queue 的實現。在每次更新時往堆裏插人當前最短距離和頂點的值對。插入的次數是O(E)次，因此元素也是O(E)個。當取出的最小值不是最短距離的話，就丟棄這個值。這樣整個算法也可以在同樣的複雜度內完成。
來一個Pro版本：
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;//n個頂點m條邊
const int INF=1e9;
typedef pair<int,int> p;//first爲dp值，second爲頂點號
vector<vector<int>>mp(1003,vector<int>(1003,INF));
vector<int>dp(1003,INF);
vector<int>used(1003,0);
void Dijkstra_Pro(int s) {
dp[s]=0;
priority_queue<p,vector<p>,greater<p>> q;
q.push(p(0,s));
while(!q.empty()) {
p temp=q.top();
q.pop();
int v=temp.second;
if(dp[v]<temp.first)//如果其最新dp值與過去的某一個更新時保存的dp值大小不一時放棄選擇，因爲過去的dp值已無效。
continue;
used[v]=1;
for(int i=0; i<n; ++i)
if(!used[i]) {
int t=dp[i];
dp[i]=min(dp[i],dp[v]+mp[v][i]);//更新因該點而改變未使用的點的最小dp值
if(t!=dp[i])//當且僅當dp[i]已更新時才加入優先隊列中
q.push(p(dp[i],i));
}
}
}
int main() {
cin>>n>>m;
for(int i=0; i<m; ++i) {
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
mp[a][b]=c;
mp[b][a]=c;
}
int s;
cin>>s;
Dijkstra_Pro(s);
for(int i=0; i<n; ++i)
cout<<dp[i]<<" ";
}