【Leetcode5】最長迴文子串

題目描述

解題思路

迴文數：迴文數是指正序（從左向右）和倒序（從右向左）讀都是一樣的整數。（第1個數和第n個數相等，第2個數和第n-1個數相等…）

解法一：暴力法（超時）

python代碼

• 枚舉所有長度大於等於 2的子串，依次判斷它們是否是迴文；
• ‘babad’，判斷‘ba’，‘bab’，‘baba’，‘babad’，‘ab’，‘aba’，‘abad’，‘ba’，‘bad’，‘ad’是否符合迴文數
• 找到最長的迴文子串，例如‘ccc’，最長迴文子串爲‘ccc’，則需加上判斷j-i+1>max_len

class Solution:
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        n = len(s)
        if n<2:
            return s
        res = s[0]
        max_len = 1
        for i in range(0,n-1):
            for j in range(i+1,n):
                if j-i+1>max_len and self.valid(s,i,j):
                    max_len = j-i+1
                    res = s[i:j+1]
        return res

    def valid(self,s,m,n):
        while m<n:
            if s[m] != s[n]:
                return False
            else:
                m += 1
                n -=1
        return True

複雜度分析：
時間複雜度：O(n^3)，這裏n是字符串的長度，枚舉字符串的左邊界、右邊界，然後繼續驗證子串是否是迴文子串，這三種操作都與n相關
空間複雜度：O(1)，只使用到常數個臨時變量

解法二：動態規劃

1、如果一個字符串的頭尾兩個字符都不相等，那麼這個字符串一定不是迴文串；
2、如果一個字符串的頭尾兩個字符相等，纔有必要繼續判斷下去。
（1）如果裏面的子串是迴文，整體就是迴文串；
（2）如果裏面的子串不是迴文串，整體就不是迴文串。
瞭解動態規劃：
1、思考狀態
dp[i][j] 表示子串 s[i, j] 是否爲迴文子串。
2、思考狀態轉移方程（核心、難點）
這一步在做分類討論（根據頭尾字符是否相等），根據上面的分析得到：
dp[i][j] = (s[i] == s[j]) and dp[i + 1][j - 1]
分析這個狀態轉移方程：
（1）“動態規劃”事實上是在填一張二維表格，i 和 j 的關係是 i <= j ，因此，只需要填這張表的上半部分；

（2）看到 dp[i + 1][j - 1] 就得考慮邊界情況。
邊界條件是：表達式 [i + 1, j - 1] 不構成區間，即長度嚴格小於 2，即 j - 1 - (i + 1) + 1 < 2 ，整理得 j - i < 3。
這個結論很顯然：當子串 s[i, j] 的長度等於 2 或者等於 3 的時候，我其實只需要判斷一下頭尾兩個字符是否相等就可以直接下結論了。
如果子串 s[i + 1, j - 1] 只有 1 個字符，即去掉兩頭，剩下中間部分只有1個字符，當然是迴文；
如果子串 s[i + 1, j - 1] 爲空串，那麼子串 s[i, j] 一定是迴文子串。
因此，在 s[i] == s[j] 成立和 j - i < 3 的前提下，直接可以下結論，dp[i][j] = true，否則才執行狀態轉移。
3、思考初始化
初始化的時候，單個字符一定是迴文串，因此把對角線先初始化爲 1，即 dp[i][i] = 1
4、思考輸出
只要一得到 dp[i][j] = true，就記錄子串的長度和起始位置，沒有必要截取，因爲截取字符串也要消耗性能，記錄此時的迴文子串的“起始位置”和“迴文長度”即可。
5、思考狀態壓縮
因爲在填表的過程中，只參考了左下方的數值。事實上可以壓縮，但會增加一些判斷語句，增加代碼編寫和理解的難度，丟失可讀性。在這裏不做狀態壓縮。

python代碼

class Solution:
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        size = len(s)
        if size < 2:
            return s

        dp = [[False for _ in range(size)] for _ in range(size)]

        max_len = 1
        start = 0

        for i in range(size):
            dp[i][i] = True

        for j in range(1, size):
            for i in range(0, j):
                if s[i] == s[j]:
                    if j - i < 3:
                        dp[i][j] = True
                    else:
                        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1]
                else:
                    dp[i][j] = False

                if dp[i][j]:
                    cur_len = j - i + 1
                    if cur_len > max_len:
                        max_len = cur_len
                        start = i
        return s[start:start + max_len]

複雜度分析：
時間複雜度：O(n^2)
空間複雜度：O(n^2)二維 dp 問題，一個狀態得用二維有序數對錶示，因此空間複雜度是 O(n^2)