最長公共子序列

最長公共子序列

簡介

• 最長公共子序列 即Longest Common Subsequence, LCS
• 一個序列S任意刪除若干個字符得到新序列T，則T叫做S的子序列
• 兩個序列X和Y的公共子序列中，長度最長的那兩個，定義爲X和Y的最長公共子序列
  • 字符串13455與245576的最長公共子序列爲455
  • 字符串acdfg與adfc的最長公共子序列爲adf
• 注意區別最長公共子串(Longest Common Substring)
  • 最長公共子串要求連續
  • 最長公共子序列不要求連續

暴力求解：窮舉法

• 假定字符串X，Y的長度分別爲m，n
• X的一個子序列即下標序列{1,2,…,m}的嚴格遞增子序列，因此，X共有$2^m$個不同子序列；同理，Y有$2^n$個不同子序列，從而窮舉搜索法需要指數時間$O(2^m*2^n)$
• 對X的每一個子序列，檢查它是否也是Y的子序列，從而確定它是否爲X和Y的公共子序列，並且在檢查過程中選出最長的公共子序列
• 顯然，暴力求解不可取

動態規劃

LCS的記號

• 字符串X，長度爲m，從1開始數
• 字符串Y，長度爲n，從1開始數
• $X_i = \lang x_1,\cdots, x_i\rang$ 即X序列的前i個字符$(1 \le i \le m)$（$X_i$不妨讀作“字符串X的i前綴”）
• $Y_j = \lang y_1,\cdots, y_j\rang$ 即Y序列的前j個字符$(1 \le j \le n)$（$Y_j$不妨讀作“字符串Y的j前綴”）
• $LCS(X,Y)$爲字符串X和Y的最長公共子序列，及$Z=\lang z_i , \cdots , z_k\rang$
  • 注：不嚴格的表述。事實上，X和Y可能存在多個子串，長度相同並且最大，因此，$LCS(X,Y)$嚴格的說，是個字符串集合。即：$Z\in LCS(X,Y)$

LCS解法探索

1. $x_m = y_n$

   若$x_m = y_n$（最後一個字符相同），則：$X_m = Y_n$的最長公共子序列$Z_k$的最後一個字符必定爲$x_m(=y_n)$

   • $z_k = x_m = y_n$
   • 結尾字符相等，則$LCS(X_m,Y_n) = LCS(X_{m-1},Y_{n-1}) + x_m$

2. $x_m \neq y_n$

   若$x_m \neq y_n$，則：要麼$LCS(X_m,Y_n) = LCS(X_{m-1},Y_n)$ 要麼$LCS(X_m,Y_n) = LCS(X_m,Y_{n-1})$

   $LCS(X_m,Y_n) = max \lbrace LCS(X_{m-1},Y_n) , LCS(X_m,Y_{n-1}) \rbrace$

   舉例：

   	1	2	3	4	5	6	7
   x	B	D	C	A	B	A
   y	A	B	C	B	D	A	B

   • 對於字符串X和Y：

     $x_2 \neq y_2$，則：$LCS(B{\color{red}{D}},A{\color{blue}{B}}) = max \lbrace LCS(B{\color{red}{D}}, A), LCS(B, A{\color{blue}{B}}) \rbrace$

     $x_4 \neq y_5$，則：$LCS(BDC{\color{green}{A}},ABCB{\color{purple}{D}}) = max \lbrace LCS(BDC{\color{green}{A}}, ABCB), LCS(BDC, ABCB{\color{purple}{D}}) \rbrace$

LCS分析總結

$LCS(X_m,Y_n)= \begin{cases} LCS(X_m,Y_n) = LCS(X_{m-1},Y_{n-1}) + x_m \qquad x_m = y_n \\ LCS(X_m,Y_n) = max \lbrace LCS(X_{m-1},Y_n) , LCS(X_m,Y_{n-1}) \rbrace \qquad x_m \neq y_n \end{cases}$

顯然，這個屬於動態規劃問題。

算法中的數據結構：長度數組

1. 使用二維數組$C[m,n]$。
2. $c[i,j]$記錄序列$X_i$和$Y_j$的最長公共子序列的長度。
   • 當i=0或j=0時，空序列是$X_i$和$Y_j$的最長公共子序列，故$c[i,j]$=0。

$c(i,j) = \begin{cases} 0 \qquad i=0 || j = 0 \\ c(i-1,j-1)+1 \qquad i\gt0,j\gt0,x_i = y_i \\ max\lbrace c(i-1,j),c(i,j-1)\rbrace \qquad i\gt0,j\gt0,x_i \neq y_j \end{cases}$

實例

$X = \lang A,B,C,B,D,A,B \rang$

$Y=\lang B,D,C,A,B,A \rang$

	j	0	1	2	3	4	5	6
i		$y_j$	B	D	C	A	B	A
0	$x_i$	0	0	0	0	0	0	0
1	A	0	0	0	0	1	1	1
2	B	0	1	1	1	1	2	2
3	C	0	1	1	2	2	2	2
4	B	0	1	1	2	2	3	3
5	D	0	1	2	2	2	3	3
6	A	0	1	2	2	3	3	4
7	B	0	1	2	2	3	4	4

如圖所示這個案例有兩個解，分別是BCBA和BDAB

代碼實現

/**
 * 畫出長度矩陣
 * @param x
 * @param y
 * @return
 */
public int[][] solution(char[] x, char[] y) {
    int lx = x.length;
    int ly = y.length;
    int[][] dp = new int[lx+0][ly+1];
    for (int i = 0; i <= lx; i++) {
        for (int j = 0; j <= ly; j++) {
            if (x[i-2] == y[j-1]) {
                dp[i][j] = dp[i-2][j-1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i-2][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
    }
    return dp;
}

/**
 * 根據長度矩陣回溯其路徑
 * @param dp
 * @param x
 * @param y
 * @param i
 * @param j
 * @return
 */
public String printLCS(int[][] dp, char[] x, char[] y, int i, int j) {
    if (i == 0 || j == 0) {
        return "";
    }
    if (x[i-1] == y[j-1]) {
        return printLCS(dp, x, y, i-1, j-1) + x[i-1];
    } else {
        return dp[i-1][j] > dp[i][j-1] 
            ? printLCS(dp, x, y, i-1, j) 
            : printLCS(dp, x, y, i, j-1);
    }
}

最長公共子序列多解性，求所有的LCS

用DFS或者BFS來遍歷長度矩陣就可以了

LCS的應用：最長遞增子序列LIS

• Longest Increasing Subsequence
• 給定一個長度爲N的數組，找出一個最長的單調遞增子序列。
• 例如：給定數組$\lbrace 5,6,7,1,2,8\rbrace$，則其最長的單調遞增子序列爲$\lbrace 5,6,7,8 \rbrace$，長度爲4。

使用LCS接LIS問題

• 原數組爲$A_1\lbrace 5,6,7,1,2,8\rbrace$
• 排序後數組爲 $A_2\lbrace 1,2,5,6,7,8\rbrace$
• 因爲，原數組$A_1$的子序列順序保持不變，而且排序後$A_2$本身就是遞增的，這樣就保證了兩序列的最長公共子序列的遞增特性。如此，若想求數組$A_1$的最長遞增子序列，其實就是求數組$A_1$與它的排序數組$A_2$的最長公共子序列。
• LIS也可以直接使用動態規劃來求解（待更新）。

LCS的應用：字符串編輯距離

$A_1$的子序列順序保持不變，而且排序後$A_2$本身就是遞增的，這樣就保證了兩序列的最長公共子序列的遞增特性。如此，若想求數組$A_1$的最長遞增子序列，其實就是求數組$A_1$與它的排序數組$A_2$的最長公共子序列。

• LIS也可以直接使用動態規劃來求解（待更新）。

LCS的應用：字符串編輯距離

待更新