【洛谷 1045 & 藍橋杯 算法訓練 ALGO-26】麥森數（二分 + 高精度）

1 題目

問題描述

形如 $2 ^ {P}-1$ 的素數稱爲麥森數，這時 $P$ 一定也是個素數。但反過來不一定，即如果 $P$ 是個素數， $2 ^ {P}-1$ 不一定也是素數。到1998年底，人們已找到了37個麥森數。最大的一個是 $P=3021377$ ，它有 $909526$位。麥森數有許多重要應用，它與完全數密切相關。
任務：從文件中輸入 $P（1000<P<3100000）$，計算 $2 ^ {P}-1$ 的位數和最後 $500$ 位數字（用十進制高精度數表示）

輸入格式

文件中只包含一個整數 $P$（1000<P<3100000）

輸出格式

第一行：十進制高精度數 $2 ^ {P}-1$ 的位數。
第2-11行：十進制高精度數 $2 ^ {P}-1$ 的最後500位數字.（每行輸出50位，共輸出10行，不足500位時高位補0）
不必驗證 $2 ^ {P}-1$ 與 $P$ 是否爲素數。

樣例輸入

1279

樣例輸出

386
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000104079321946643990819252403273640855
38615262247266704805319112350403608059673360298012
23944173232418484242161395428100779138356624832346
49081399066056773207629241295093892203457731833496
61583550472959420547689811211693677147548478866962
50138443826029173234888531116082853841658502825560
46662248318909188018470682222031405210266984354887
32958028878050869736186900714720710555703168729087

2 題目分析

1.題目難點：

• 求 $2 ^ {P}-1$ 的位數
• 高精度算法
• 二分快速冪實現

2.求 $2 ^ {P}-1$ 的位數

• 首先要知道的是 $2 ^ {P}-1$ 與 $2 ^ {P}$ 有相同的位數，因此接下來我們直接求 $2 ^ {P}$ 的位數
• 不妨設 $k\,=\,2^{p}$
• 我們知道， $10^{n}$ 的位數爲 $n+1$，而根據對數運算規則，$10^{\lg 2}\,=\,2$
• 因此將 $10^{\lg 2}\,=\,2$ 代入 $k\,=\,2^{p}$ 得 $k = 10^{\lg 2*p}$ ，所以 $2 ^ {P}$ 的位數爲 $p*{\lg 2} +1$
• 另外，C++ 的 cmath 庫中自帶 log10() 函數。也有直接計算位數的函數：ceil(n次方*log10(底數))

3.高精度算法

• 在 C/C++ 中，$int$ 類型有10位，取值範圍爲：$-2147483648\sim2147483647$；$long\,long$ 類型有19位，取值範圍爲：$-9223372036854775808\sim9223372036854775807$

• 如果有兩個30位的數字相乘，應該如何用計算機實現？

• 這就是高精度乘法的應用，以高精度加法舉例，就是用數組存儲數字每一位的數字，逐個運算，具體的算法可參考博客：高精度加、減、乘、除算法實現詳解

• 在本題中，就是運用高精度乘法的原理實現二分快速冪過程。

4.二分快速冪實現

• 快速冪原理：https://blog.csdn.net/liangllhahaha/article/details/82119378
• 在本題中，用兩個函數實現快速冪中 ans *= base 與 base *= base 的功能，其中 $p$ 則爲冪方 $b$ ，數組 b[maxn] 爲基數 base

3 題解

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
//乘法開2倍長度
const int maxn = 1001;
int ans[maxn], b[maxn], carry[maxn], p;

void fun1(){
	memset(carry, 0, sizeof(carry));
	for(int i = 1;i <= 500;i++){
		for(int j = 1;j <= 500;j++){
			carry[i + j - 1] += ans[i] * b[j];
		}
	}
	for(int i = 1;i <= 500;i++){
		carry[i + 1] += carry[i] / 10;
		carry[i] = carry[i] % 10;
	}
	memcpy(ans, carry, sizeof(ans));
}

void fun2(){
	memset(carry, 0, sizeof(carry));
	for(int i = 1;i <= 500;i++){
		for(int j = 1;j <= 500;j++){
			carry[i + j - 1] += b[i] * b[j];
		}
	}
	for(int i = 1;i <= 500;i++){
		carry[i + 1] += carry[i] / 10;
		carry[i] = carry[i] % 10;
	}
	memcpy(b, carry, sizeof(b));
}

int main(){
	int p;
	cin >> p;
	printf("%d\n", (int)( p * log10(2) ) + 1);
	//賦初值 
	ans[1] = 1, b[1] = 2;
	while(p){
		if(p % 2){
			fun1();
		}
		fun2();
		p /= 2;
	}
	//題目要計算的是2 ^ {P} - 1
	ans[1] -= 1;
	for(int i = 500;i > 0;i--){
		if(i != 500 && i % 50 == 0){
			printf("\n%d", ans[i]);
		}else{
			printf("%d", ans[i]);
		}
	}
	return 0;
}