Table of Contents
本文僅是簡要總結，只包含定理和簡單提示，可用於期末複習前的檢驗
1. 圖的匹配與Berge定理
1.1 圖的匹配的相關概念
匹配M: 不含自環；任意兩邊無公共頂點；
M飽和點: 匹配M中某條邊的頂點;
M非飽和點: 不是M中某條邊的頂點；
極大匹配：不能通過加邊使匹配M增大的匹配M；
最大匹配：包含邊數最多的匹配；
完美匹配：若最大匹配包含了所有頂點，則爲完美匹配；
M交錯路：一條路，由M中的邊和不是M中的邊交錯構成；
M增廣路/M可擴路：起點和終點都是M非飽和點的M交錯路。
Note:
極大匹配不一定是最大匹配；
最大匹配一定是極大匹配；
圖不一定存在完美匹配；
1.2 Berge定理
G的匹配M是最大匹配 當且僅當 G不包含M增廣路
證明思路：
必要性顯然；充分性反證法，構造對稱差運算，利用M增廣路證明矛盾。
2. 二部圖的匹配與覆蓋
2.1 背景
飽和X每個頂點的匹配: 可應用於如學生找工作等實際問題；
2.2 二部圖匹配存在性判定——Hall定理
設G=(X,Y)二部圖，則G存在飽和X每個頂點的匹配的 充要條件 對任意的X的子集S，都有|N(S)|>=|S|
證明思路：
必要性顯然；
充分性：反證法；取一個不飽和X的頂點u，構造S和T，利用N(S)=T且|S|=|T|+1得到矛盾；
推論：
若G是k正則二部圖，則G存在完美匹配；
證明思路:
首先，因爲k正則二部圖，故|X|=|Y|；其次，對X的任意非空子集S，必然滿足Hall定理，故G存在完美匹配；
2.3 例題:
1. 證明每個k方體都有完美匹配(k>=2)
思路1：證明k方體是正則二部圖；思路2：直接在k方體中找到完美匹配；
2. 求K_{2n}和K_{n,m}中不同完美匹配的個數
數學歸納法，結果分別爲(2n-1)!!; n!
3. 證明樹至多存在一個完美匹配
證明：反證法，由樹不含圈正矛盾；
3. 點覆蓋與Konig定理
3.1 圖的點覆蓋概念與性質
點覆蓋概念：頂點子集+鄰接邊覆蓋所有邊。
點覆蓋：最小點覆蓋有意義，其包含點數爲G的覆蓋數，記爲\beta(G)
定理：
設M是G的匹配，K是G的點覆蓋，若|M|=|K|,則M是最大匹配，K是最小點覆蓋。
(類比強對偶定理理解)
3.2 Konig定理
在二部圖中，最大匹配的邊數等於最小點覆蓋的頂點數
思路：與Hall定理類似，但取的是所有不飽和頂點u；
4. Tutte定理
Tutte定理:
圖G有完美匹配當且僅當對任意V(G)的點子集S，有：
o(G-S)<=|S|
其中，o(G-S)表示奇分支數目；
證明不要求
例題:
1. 證明3正則無橋圖存在完美匹配；
2. 證明一棵樹G有完美匹配當且僅當對所有頂點v，有o(G-v)=1