原來 歐拉篩和埃式篩 這麼簡單——歐拉篩素數法和埃拉託斯特尼篩法

歐拉篩素數法和埃拉託斯特尼篩法篩法（歐拉篩和埃式篩）

由於對算法的學習比較吃力，所以爭取就是一點一點的理解算法，一句一註釋，將每一個存在的疑問都寫下來，致力於：方便像我這樣的小白快速學算法！

• 首先，學習算法之前，先了解一些基礎的知識：

• 素數（質數）：如果一個大於1的自然數，如果只能被 1 和它本身整除，那麼這個數就是素數。
• 合數：自然數中除了能被1和本身整除外,還能被其他數(0除外)整除的數。
• 自然數1，既不是質數，又不是合數
• 算數定理：任何一個合數(非質數)，都可以以唯一的形式被寫成有限個質數的乘積，即分解質因數

• 埃式篩

  • 算法思想：如果一個數是素數，那麼它的倍數一定不是素數。我們要找n以內的所有素數，那麼把n以內的合數全部篩掉，剩下的就是素數了。
  • 算法代碼如下：

  /**
   *找n以內的所有素數的個數
   *
   */
  int countPrimes(int n){
      vector<bool> isPrim(n,true);                      //定義n大小的數組，賦默認值true
      
          for(int i = 2;i < sqrt(n);++i){               //遍歷所有的數,遍歷到開方即可
              if(isPrim[i])                             //避免冗餘
                  for(int j = i*i; j < n; j+=i){    	  	                  
                      isPrim[j] = false;                //排除掉非質數，即把小於n的所有的i的倍數篩掉
                  }
          }
  
          int counter= 0 ;
          for(int i = 2; i < n;++i){
              if(isPrim[i]){
                  ++counter;                            //計數，true爲素數，false爲合數
              }
          }
          return counter;
  }
  

  • 算法釋疑

    • 爲什麼篩選到sqrt(n)

    引用力扣的一個例子，如下:

    後兩個乘積就是前面兩個反過來，反轉臨界點就在 sqrt(n)。

    所以兩層的for循環，只需要其中一層可以遍歷sqrt(n)——n之間的數即可。

    12 = 2 × 6
    12 = 3 × 4
    12 = sqrt(12) × sqrt(12)
    12 = 4 × 3
    12 = 6 × 2
    

    • 爲什麼j = i*i開始

    試想以下，如果 j = i * ( i - 1) ，那麼， ( i - 1) < i , ( i - 1) 一定已經被篩選過了

    • 爲什麼j+=i

    正如前面所說，篩選掉素數的整數倍數，即篩選掉小於 n 的 i ,i+1 ,i+2 …倍的自然數

  • 時間複雜度：O(n * log (log n) )

  • 缺陷

    正如上面的式子
    例如：對素數2進行篩選時,已經將自然數 6 篩選掉了; 但是到了對素數3處理時, 再一次篩選掉自然數6，對於這種情況，要想解決，所以就有了歐拉篩。

• 歐拉篩

  • 算法思想：將合數分解爲一個最小質數乘以另一個數的形式，即 合數 = 最小質數 * 自然數，然後通過最小質數來判斷當前數是否被標記過。
  • 算法代碼如下：

  /**
   *找n以內的所有素數的個數
   *
   */
  int countPrimes(int n){
      //歐拉篩選法
          vector<int>isPrim(n,0);                                 //記錄得到的素數，默認值爲0
          vector<bool>status(n,true);                             //記錄該值的狀態，默認值爲true
  
          int cnt = 2;                                    
          for(int i = 2 ; i < n; ++i){                            //遍歷所有的數
              if(status[i])  isPrim[cnt++] = i;                   //存放所有的素數
              for(int j = 2; (j < cnt)&&(i * isPrim[j] < n);++j){ //cnt表示素數數組中的個數  
                  status[i * isPrim[j]] = false;                  //篩去合數
                  if(i % isPrim[j] == 0)   break;                 //表示已經篩選過了
              }
          }
  
          int counter= 0 ;
          for(int i = 2; i < n;++i){
              if(isPrim[i]){
                  ++counter;                                       //計數，true爲素數，false爲合數
              }
          }
          return counter;
  }
  

  • 算法釋疑

    • 爲什麼isPrim[cnt++] = i

    運行第一遍時，先將最小質數2,存入數組進行篩選

    以後再次執行該語句時，符合判斷條件的值，將存入素數數組中

    • 爲什麼if(i % isPrim[j] == 0) break;

    可以這樣理解：

    在素數數組中的值，已經全部篩選過了，並且是遞增的

    如果取餘之後爲0,則表明找到了該值的最小質因數

    當i=21，prime[j]=3時，63被篩掉

    而 i=9，prime[j]=7時則不會，因爲i=9時，這個循環中，循環到prime[j]=3時，就會break出來，根本不會再繼續，故這種情況根本不會出現

    總結：一個合數被分解爲最小質因數*自然數，以最小質因數進行篩選

• 時間複雜度：O(n)

• 參考文章

[1]: I
[2]: II
[3]: III

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